【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第二章 第1讲 函数及其表示学案
第1讲 函数及其表示
一、知识梳理
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域．
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为.
二、教材衍化
1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B.对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]
3．函数y＝·的定义域是________．
解析：⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．( )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(4)若集合A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
二、易错纠偏
(1)对函数概念理解不透彻；
(2)对分段函数解不等式时忘记范围；
(3)换元法求解析式，反解忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
3．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
函数的定义域(多维探究)
角度一 求函数的定义域
(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y＝的定义域为( )
A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3]
C. [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]
(2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是 ( )
A．[0，1] B．(0，1)
C．[0，1) D．(0，1]
【解析】 (1)要使函数有意义，x需满足解得－1
0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1)，故选B.
【答案】 (1)B (2)B
角度二 已知函数的定义域求参数
若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．
【解析】 由ax2－4ax＋2＞0恒成立，
得a＝0或解得0≤a＜.
【答案】 D
函数定义域的求解策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．
[提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简．
(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．
1．y＝ －log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2，0)∪(1，2) B．(－2，0]∪(1，2)
C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2]
解析：选C.要使函数有意义，则解得x∈(－2，0)∪[1，2)，
即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)．
2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
答案：[－1，2]
3．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝的定义域为R，
所以mx2＋4mx＋3≠0，
所以m＝0或即m＝0或0＜m＜，所以实数m的取值范围是.
答案：
求函数的解析式(师生共研)
(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；
(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
【解】 (1)法一：待定系数法
因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：换元法
令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：配凑法
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
(2)解方程组法
由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．
求函数解析式的4种方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．
1．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
答案：x2＋x(x∈R)
2．已知函数f＝lg x，则f(x)＝________．
解析：令＋1＝t，得x＝，则f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg (x>1)．
答案：lg (x>1)
3．已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________．
解析：因为2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)
4．已知函数f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
解析：法一(换元法)：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二(配凑法)：因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
所以f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
答案：f(x)＝x2－1(x≥1)
分段函数(多维探究)
角度一 分段函数求值
(1)(2020·江西南昌一模)设函数f(x)＝则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1
C．0 D．
(2)若函数f(x)＝则f(f(－9))＝________．
【解析】 (1)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D.
(2)因为函数f(x)＝
所以f(－9)＝lg 10＝1，所以f(f(－9))＝f(1)＝－2.
【答案】 (1)D (2)－2
角度二 已知函数值求参数
设函数f(x)＝若f(m)＝3，则实数m的值为________．
【解析】 当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当00.
当03，
即不等式f(2x＋1)3.故选B.
【答案】 (1)D (2)B
分段函数问题的求解思路
(1)根据分段函数的解析式，求函数值的解题思路
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
1．(2020·河南郑州质量测评)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1，2]
C．[0，2] D．(－∞，0]∪[1，2]
解析：选D.当x≥1时，不等式f(x)≤1为log2x≤1，即log2x≤log22，
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增加的，
所以1≤x≤2；
当x<1时，不等式f(x)≤1为≤1，
所以－1≤0，所以≤0，所以≥0，
所以x≤0或x>1(舍去)．
所以f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1，2]．故选D.
2．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝________．
解析：当a＞0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
答案：－
3．(2020·闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x－2)＝则f(2)＝________．
解析：f(2)＝f(4－2)＝6－4＝2.
答案：2
分类讨论思想在分段函数中的应用
设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
【解析】 当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝2x－>1，当x－≤0，即0，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－－3，故－30时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
2．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意得解得x≥0，且x≠2.
3．(2020·延安模拟)已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A．y＝ B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝
解析：选D.对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝＝1＋，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝则f(f(1))＝( )
A．－ B．2
C．4 D．11
解析：选C.因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是( )
A．[1，2] B．(－1，1]
C. D．(－1，0)
解析：选D.由f(2x－1)的定义域是[0，1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，所以函数f(x)的定义域是[－1，1]，所以要使函数有意义，需满足解得－11，则实数m的取值范围是________．
解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
答案：0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
[综合题组练]
1．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x>0时，f(x)＝x>0，(
f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
2．(2020·河南郑州第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
解析：选D.f(x)＝＝＝1＋，
因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0<<1，
则0<<2，所以1<1＋<3，
即1
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