【数学】2020一轮复习北师大版（理）20　函数y=Asin(ωxφ)的图像及应用作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）20　函数y=Asin(ωxφ)的图像及应用作业

课时规范练20　函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018湖南长郡中学仿真,3)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=‎2‎cos 3x的图像(　　)‎ A.向右平移π‎12‎个单位 B.向右平移π‎4‎个单位 C.向左平移π‎12‎个单位 D.向左平移π‎4‎个单位 ‎2.已知函数f(x)=cosωx+‎π‎3‎(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像(　　)‎ A.关于点π‎3‎‎,0‎对称 B.关于直线x=π‎4‎对称 C.关于点π‎4‎‎,0‎对称 D.关于直线x=π‎3‎对称 ‎3.(2018河北衡水中学金卷十模,10)将函数y=sin‎1‎‎2‎x-π‎3‎的图像向右平移π‎2‎个单位,再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的‎1‎‎2‎(纵坐标不变),则所得图像对应的函数的一个递增区间为(　　)‎ A.‎-π‎12‎,‎‎13π‎12‎ B.‎‎13π‎12‎‎,‎‎25π‎12‎ C.π‎12‎‎,‎‎13π‎12‎ D.‎‎7π‎12‎‎,‎‎19π‎12‎ ‎4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)‎ A.5 B.6‎ C.8 D.10‎ ‎5.(2018河北衡水中学月考,10)将函数f(x)=2sin4x-π‎3‎的图像向左平移π‎6‎个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是(　　)‎ A.最小正周期为π B.图像关于直线x=π‎12‎对称 C.图像关于点π‎12‎‎,0‎对称 D.初相为π‎3‎ ‎6.(2018河南洛阳一模)将函数f(x)=2sinωx+‎π‎4‎(ω>0)的图像向右平移π‎4ω个单位长度后得到g(x)的图像,若函数g(x)在区间-π‎6‎‎,‎π‎3‎上是增加的,则ω的最大值为(　　)‎ A.3 B.2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎5‎‎4‎ ‎7.(2018河北衡水中学金卷一模,11)已知函数f(x)=‎3‎sin ωx-2cos2ωx‎2‎+1(ω>0),将f(x)的图像向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位,所得函数g(x)的部分图像如图所示,则φ的值为(　　)‎ A.π‎12‎ B.π‎6‎ C.π‎8‎ D.‎π‎3‎ ‎8.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则(　　)‎ A.y=2sin‎2x-‎π‎6‎ ‎ B.y=2sin‎2x-‎π‎3‎ C.y=2sinx+‎π‎6‎ ‎ D.y=2sinx+‎π‎3‎ ‎9.(2018北京,理11)设函数f(x)=cosωx-‎π‎6‎(ω>0),若f(x)≤fπ‎4‎对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　　. ‎ ‎10.已知函数y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎.‎ ‎(1)用五点法作出函数的图像;‎ ‎(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的.‎ 综合提升组 ‎11.(2018河南商丘二模,11)将函数f(x)=cosωx‎2‎2sinωx‎2‎-2‎3‎cosωx‎2‎+‎3‎(ω>0)的图像向左平移π‎3ω个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在‎0,‎π‎12‎上是增加的,则ω的最大值为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎12.(2018山西吕梁一模,11)将函数f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎的图像向左平移π‎12‎个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为(　　)‎ A.‎55π‎12‎ B.‎53π‎12‎ C.‎25π‎6‎ D.‎‎17π‎4‎ ‎13.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点‎2π‎3‎‎,0‎对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为　　　　　. ‎ ‎14.(2018湖南长郡中学二模,17)已知函数f(x)=2sinπ‎4‎‎-xcosπ‎4‎‎-x‎+‎‎3‎sin 2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上的最值及相应的x值.‎ 创新应用组 ‎15.(2018湖南衡阳一模,11)已知A、B、C、D是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π‎2‎在一个周期内的图像上的四个点,如图所示,A‎-π‎6‎,0‎,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,CD在x轴上的投影为π‎12‎,则(　　)‎ A.ω=2,φ=π‎3‎ B.ω=2,φ=‎π‎6‎ C.ω=‎1‎‎2‎,φ=π‎3‎ D.ω=‎1‎‎2‎,φ=‎π‎6‎ ‎16.(2018河北衡水中学17模,11)设函数f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎.若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为(　　)‎ A.π‎6‎‎,+∞‎ B.‎π‎3‎‎,+∞‎ C.‎2π‎3‎‎,+∞‎ D.‎‎4π‎3‎‎,+∞‎ 参考答案 课时规范练20　函数y=Asin(ωx+φ)‎ 的图像及应用 ‎1.A　y=sin 3x+cos 3x=‎2‎sin‎3x+‎π‎4‎=‎2‎sin 3x+‎π‎12‎,‎ 函数y=‎2‎cos 3x=‎2‎sin‎3x+‎π‎2‎=‎2‎sin 3x+‎π‎6‎,故将函数y=‎2‎cos 3x的图像向右平移π‎12‎个单位,‎ 得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像.‎ ‎2.D　由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+π‎3‎=kπ(k∈Z),解得x=kπ‎2‎-π‎6‎(k∈Z),当k=1时,x=π‎3‎,故选D.‎ ‎3.A　将y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎3‎的图像向右平移π‎2‎个单位,得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎2‎-π‎3‎=sin‎1‎‎2‎x-‎‎7π‎12‎的图像,‎ 再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的‎1‎‎2‎倍(纵坐标不变),‎ 所得的图像对应的解析式为y=sinx-‎‎7π‎12‎,‎ 令2kπ-π‎2‎≤x-‎7π‎12‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,解得2kπ+π‎12‎≤x≤2kπ ‎+‎13π‎12‎,k∈Z,‎ 当k=0时,所得图像对应的函数的一个递增区间为π‎12‎,‎13π‎12‎,故选C.‎ ‎4.C　因为sinπ‎6‎x+φ∈[-1,1],所以函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k的最小值为k-3,最大值为k+3.‎ 由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.‎ 所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.‎ ‎5.C　由题意,图像平移后的解析式为y=2sin‎4x+‎π‎3‎,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin‎2x+‎π‎3‎,‎ ‎∴g(x)=2sin‎2x+‎π‎3‎.易判断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵gπ‎12‎=2sin‎2×π‎12‎+‎π‎3‎=2≠0,‎ ‎∴选项B对C错,故选C.‎ ‎6.C　由题意知,g(x)=2sinωx-‎π‎4π+‎π‎4‎=2sin ωx,由对称性,得π‎3‎-‎-‎π‎3‎≤‎1‎‎2‎×‎2πω,即ω≤‎3‎‎2‎,则ω的最大值为‎3‎‎2‎.‎ ‎7.A　由题意得f(x)=‎3‎sin ωx-2cos2ωx‎2‎+1=‎3‎sin ωx-cos ωx=2sinωx-‎π‎6‎,‎ 则g(x)=2sinω(x-φ)-π‎6‎=2sinωx-ωφ-π‎6‎,由题图知T=2‎11π‎12‎-‎5π‎12‎=π,‎ ‎∴ω=2,g(x)=2sin2x-2φ-π‎6‎,‎ 则g‎5π‎12‎=2sin‎5π‎6‎-π‎6‎-2φ=2sin‎2π‎3‎‎-2φ=2,‎ 由0<φ<π‎2‎,得‎2π‎3‎-2φ=π‎2‎,解得φ的值为π‎12‎,故选A.‎ ‎8.A　由题图知,A=2,周期T=2π‎3‎-‎-‎π‎6‎=π,‎ 所以ω=‎2ππ=2,y=2sin(2x+φ).‎ 方法一:因为函数图像过点π‎3‎‎,2‎,‎ 所以2=2sin‎2×π‎3‎+φ.‎ 所以‎2π‎3‎+φ=2kπ+π‎2‎(k∈Z).‎ 令k=0,得φ=-π‎6‎,‎ 所以y=2sin‎2x-‎π‎6‎,故选A.‎ 方法二:因为函数图像过点‎-π‎6‎,-2‎,‎ 所以-2=2sin‎2×‎-‎π‎6‎+φ,‎ 所以2×‎-‎π‎6‎+φ=2kπ-π‎2‎,k∈Z,‎ 即φ=2kπ-π‎6‎,k∈Z.‎ 令k=0,得φ=-π‎6‎,‎ 所以y=2sin‎2x-‎π‎6‎.故选A.‎ ‎9.‎2‎‎3‎　∵对任意x∈R都有f(x)≤fπ‎4‎,‎ ‎∴fπ‎4‎=1,即cosω·π‎4‎-‎π‎6‎=1.‎ ‎∴ωπ‎4‎-π‎6‎=2kπ,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值,即ωπ‎4‎=π‎6‎,ω=‎2‎‎3‎.故ω的最小值为‎2‎‎3‎.‎ ‎10.解 (1)列表:‎ x π‎2‎ ‎3π‎2‎ ‎5π‎2‎ ‎7π‎2‎ ‎9π‎2‎ ‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3‎‎2‎π ‎2π ‎3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎-3‎ ‎0‎ 描点、连线,如图所示.‎ ‎(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.‎ 先把y=sin x的图像上所有点向右平移π‎4‎个单位长度,得到y=sinx-‎π‎4‎的图像,再把y=sinx-‎π‎4‎的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图像,最后将y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图像.‎ ‎(方法二)“先伸缩,后平移”‎ 先把y=sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin‎1‎‎2‎x的图像,再把y=sin‎1‎‎2‎x图像上所有的点向右平移π‎2‎个单位长度,得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎2‎=sinx‎2‎‎-‎π‎4‎的图像,最后将y=sinx‎2‎‎-‎π‎4‎的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图像.‎ ‎11.C　f(x)=cosωx‎2‎2sinωx‎2‎-2‎3‎cosωx‎2‎+‎3‎=sin ωx-2‎3‎‎1+cosωx‎2‎+‎3‎=sin ωx-‎3‎cos ωx=2sinωx-π‎3‎,f(x)的图像向左平移π‎3ω个单位,得y=2sinωx+π‎3ω-π‎3‎的图像,‎ ‎∴函数y=g(x)=2sin ωx.‎ 又y=g(x)在‎0,‎π‎12‎上是增加的,‎ ‎∴T‎4‎≥π‎12‎,即‎2π‎4ω≥π‎12‎,‎ 解得ω≤6,所以ω的最大值为6.‎ ‎12.A　由题意得g(x)=2sin2x+π‎12‎+π‎6‎-1,故g(x)max=1,g(x)min=-3,‎ 由g(x1)g(x2)=9,得g(x‎1‎)=-3,‎g(x‎2‎)=-3,‎ 由g(x)=2sin‎2x+‎π‎3‎-1=-3得2x+π‎3‎=2kπ-π‎2‎,k∈Z,‎ 即x=kπ-‎5π‎12‎,k∈Z,‎ 由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2=-‎17π‎12‎,-‎5π‎12‎,‎7π‎12‎,‎19π‎12‎.‎ 故当x1=‎19π‎12‎,x2=-‎17π‎12‎时,2x1-x2最大,即2x1-x2=‎55π‎12‎,故选A.‎ ‎13.π‎12‎　∵函数的图像关于点‎2π‎3‎‎,0‎对称,∴2×‎2π‎3‎+φ=kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 解得φ=kπ-‎5π‎6‎,k∈Z,‎ ‎∴f(x)=cos‎2x+kπ-‎‎5π‎6‎,k∈Z.‎ ‎∵f(x)的图像平移后得函数y=cos‎2x-2m+kπ-‎‎5π‎6‎(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-‎5π‎6‎=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=‎(k-k‎1‎)π‎2‎-‎5π‎12‎.‎ ‎∵m>0,∴m的最小正值为π‎12‎,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).‎ ‎14.解 (1)f(x)=sinπ‎2‎‎-2x+‎3‎sin 2x=cos 2x+‎3‎sin 2x=2sin‎2x+‎π‎6‎,‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ ‎(2)因为0≤x≤π‎2‎,所以0≤2x≤π,‎ 所以π‎6‎≤2x+π‎6‎≤‎7π‎6‎,‎ 当x=π‎6‎时,f(x)max=2;‎ 当x=π‎2‎时,f(x)min=-1.‎ ‎15.A　由题意可知T‎4‎=π‎6‎+π‎12‎=π‎4‎,‎ ‎∴T=π,ω=‎2ππ=2.‎ 又sin‎2×‎-‎π‎6‎+φ=0,0<φ<π‎2‎,‎ ‎∴φ=π‎3‎,故选A.‎ ‎16.B　(特殊值法)画出f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎的图像如图所示.‎ 结合图像可得,当x2=0时,f(x2)=sinπ‎3‎=‎3‎‎2‎;‎ 当x1=-π‎3‎时,f(x1)=sin‎-‎2π‎3‎+‎π‎3‎=-‎3‎‎2‎,满足f(x1)+f(x2)=0.‎ 由此可得当x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0时,|x2-x1|>‎0-‎‎-‎π‎3‎=π‎3‎.故选B.‎