2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节利用导数研究函数的单调性课件文北师大版

2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节利用导数研究函数的单调性课件文北师大版

第二节　 利用导数研究函数的单调性 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 利用导数研究函数的单调性 (1) 前提条件 : 函数 f(x) 在 (a,b) 内可导 (2) 导数与函数单调性的关系 f′(x)>0 f(x) 在 (a,b) 上为 _______. f′(x)<0 f(x) 在 (a,b) 上为 _______. f′(x)=0 f(x) 在 (a,b) 上为 _________. 增函数 减函数 常数函数 2. 由导数求单调区间的步骤 【 知识点辨析 】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 在 (a,b) 内 f ′(x)≤0, 且 f ′(x)=0 的根有有限个 , 则 f(x) 在 (a,b) 内是减函数 . ( 　　 ) (2) 若函数 f(x) 在定义域上都有 f′(x)<0, 则函数 f(x) 在定义域上一定单调递减 . ( 　　 ) (3) 已知函数 f(x) 在区间 [a,b] 上单调递增 , 则 f′(x)>0 恒成立 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. (2) × . 不一定 , 如函数 y= 的导函数 y ′ =- <0 恒成立 , 但是函数 y= 的图像不是恒下降的 . (3) × . 不一定 , 如 y=x 3 在 [-1,3] 上单调递增 , 但是 y ′ =3x 2 在 x=0 处的值为 0. 序号 易错警示 典题索引 1 忽视定义域优先的原则 考点一、 T1,2 2 分类讨论时分类标准出错 考点二、典例 3 已知单调性求参数的问题时 , 所列不等式是否取等号出错 考点三、角度 3 【 易错点索引 】 【 教材 · 基础自测 】 1.( 选修 1-1P83 练习 T1(2) 改编 ) 函数 f(x)=(x-3)e x 的递增区间是 ( 　　 ) 　　 　　　　　　　　　　　　　 A.(-∞,2) 　　　　　　 B.(0,3) C.(1,4) 　　 D.(2,+∞) 【 解析 】 选 D. 函数 f(x)=(x-3)e x 的导数为 f′(x)=[(x-3)e x ]′=e x +(x-3)e x = (x-2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系 , 得当 f′(x)>0 时 , 函数 f(x) 是增加的 , 此时由不等式 f′(x)=(x-2)e x >0, 解得 x>2. 2.( 选修 1-1P86A 组 T1(3) 改编 ) 函数 f(x)= (a>0) 的递增区间是 ( 　　 ) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 或 (1,+∞) 【 解析 】 选 B. 函数 f(x) 的定义域为 R,f′(x)= = , 由于 a>0, 要使 f′(x)>0, 只需 (1-x)(1+x)>0, 解得 -10,a≠1) 的单调性 . 【 解析 】 指数函数 f(x)=a x 的定义域为 R, 因为 f ′ (x)=a x ln a, 对于任意 x∈R, 总有 a x >0, 所以当 01 时 ,ln a>0,f ′ (x)>0, 函数在 R 上单调递增 . 综上 , 当 01 时 , 函数 f(x)=a x 单调递增 . 解题新思维　构造法的应用　  【 结论 】 构建新函数解答比较大小和不等式问题 分析已知条件的特点构造新的函数 , 对新函数求导确定其单调性 , 再由单调性进行大小的比较 . 典例 (2020· 凉山模拟 ) 若 0b>c 　　　　 B.c>b>a C.a>c>b 　 D.c>a>b 【 解析 】 选 D. 令 h(x)=xf(x), 因为函数 y=f(x) 以及函数 y=x 是 R 上的奇函数 , 所 以 h(x)=xf(x) 是 R 上的偶函数 . 又因为当 x<0 时 ,h′(x)=f(x)+xf′(x)<0, 所以 函数 h(x) 在 x∈(-∞,0) 时单调递减 , 所以 h(x) 在 x∈(0,+∞) 时单调递增 . 因为 a=3 0.3 ·f(3 0.3 )=h(3 0.3 ),b=log π 3·f(log π 3)=h(log π 3),c= = (-2)·f(-2)=h(-2)=h(2), 且 0h(3 0.3 )>h(log π 3), 即 c>a>b.