湖南省长沙市浏阳市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

湖南省长沙市浏阳市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 浏阳市2019年下学期期末考试试卷 高一数学 时量：120分钟 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用并集的定义，求得.‎ ‎【详解】因为 所以.‎ ‎【点睛】本题考查并集的求法，解题时细心观察，注意不等式性质的合理运用.‎ ‎2.用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点 ，第二次应计算 ，以上横线应填的内容依次为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半．即可获得问题解答．‎ ‎【详解】由题意可知：对函数，，，且函数在区间上连续，可得其中一个零点，使得，‎ 根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算，‎ - 20 -‎ 所以答案为：，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．‎ ‎3.若，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的图象和性质判断选项A,B正误，利用对数函数的图象和性质判断选项C,D的正误.‎ ‎【详解】A. 因为函数单调递增，所以，所以该选项错误；‎ B. 因为函数单调递减，所以，所以该选项错误；‎ C. 因为函数单调递减，所以，所以该选项错误；‎ D. 因为函数单调递增，所以，所以该选项正确.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.在空间直角坐标系中，已知，，，则是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三形 D. 直角三形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的坐标表示，写出、、的坐标，得到 - 20 -‎ ‎，即可判断得解．‎ ‎【详解】在空间直角坐标系中，已知，0，，，4，，，4，，‎ ‎，4，，，4，，，0，，‎ 且，‎ ‎，‎ 为直角三角形；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．‎ ‎5.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. 以上都不正确．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由三视图可得该几何体为圆锥，‎ 且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5‎ 则圆锥的底面积S底面=9π 侧面积S侧面=π•r•l=15π 故几何体的表面积S=9π+15π=24π，‎ 又由圆锥的高h2= l2-r2=16‎ 故V=•S底面•h=12π 故选A - 20 -‎ ‎6.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B´-AD-C，此时∠B´AC=60°，那么这个二面角大小是（ ）‎ A. 90° B. 60°‎ C. 45° D. 30°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设等腰直角△ABC中AB=AC=a，则BC=a，‎ ‎∴B′D=CD=，‎ ‎∵等腰直角△ABC斜边BC上的高是AD=，‎ ‎∴B′D⊥AD，CD⊥AD，‎ ‎∴∠B′DC是二面角B′−AD−C的平面角．‎ 连结B′，C，∵∠B′AC=60°，∴B′C=a，‎ ‎∴B′D2+CD2=B′C2，‎ ‎∴∠B′DC=90°.‎ ‎∴二面角B′−AD−C的大小是90°.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考察了二面角的求法,属于基础题,作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.‎ ‎7.下列函数中，对定义域内任意两个自变量的值x，y都满足，且在定义域内为单调递减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的性质以及有理数指数幂的运算性质即可求解．‎ ‎【详解】函数在定义域内为单调递减函数，排除选项，，‎ 又，函数满足题意，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的性质和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．‎ ‎8.若圆截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）‎ A. -31 B. -4 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为圆截直线所得弦长为6，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考察下列命题，其中真命题是 A. m⊥α，nβ，m⊥nα⊥β B. α∥β，m⊥α，n∥βm⊥n C. α⊥β，m⊥α，n∥βm⊥n D. α⊥β，α∩β＝m，m⊥nn⊥β ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为α∥β，m⊥α，所以,过n作一个平面，使,因为n∥β，,‎ - 20 -‎ ‎.‎ ‎10.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为 （为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为 A. 35 B. 30‎ C. 25 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．‎ ‎【详解】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为 - 20 -‎ ‎，‎ 点（5，100）和点（15，60），代入解析式，‎ 有，‎ 解得a＝5,b=20，‎ 故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,‎ ‎∴最少需要的时间为25min．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．‎ ‎11.在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 由已知求得三角形的面积，再由等积法求点到平面的距离．‎ ‎【详解】如图，在正方体中，，是的中点，‎ 则，，．‎ ‎．‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，得，‎ 解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎12.已知，若关于x的方程（a，b，c为常数）恰好有7个实数根，则有（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性，结合函数的图象，转化求解即可．‎ ‎【详解】由题得函数是偶函数，函数的图象如图：‎ 关于的方程，必须有两个实数解，‎ 即一个，另一个，‎ - 20 -‎ 所以，，即，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ 二、填空题：本大题共4小题.‎ ‎13.已知幂函数的图象过点，则_____________．‎ ‎【答案】（填亦可）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出幂函数解析式，根据点求得幂函数的解析式.‎ ‎【详解】由于为幂函数，设，将代入得，所以.‎ 故答案为（填亦可）‎ ‎【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.‎ ‎14.两条平行直线l：与m：之间的距离______.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．‎ - 20 -‎ ‎【详解】两条平行直线与之间的距离．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查两平行线间的距离公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎15.在正方体中，异面直线与所成的角大小等于______.‎ ‎【答案】60°.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得即为异面直线与所成的角，连接后，解三角形即可得到异面直线与所成的角．‎ ‎【详解】‎ 连接，由正方体的几何特征可得：，‎ 则即为异面直线与所成的角或其补角，‎ 连接，易得 故 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出即为异面直线与所成的角或者其补角，是解答本题的关键．‎ ‎16.设集合，，函数.‎ - 20 -‎ ‎（1）______；‎ ‎（2）若，则t的取值范围是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由函数的解析式分析可得的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，按的取值范围分情况讨论，分析的取值范围，求出的解析式，据此分析的解集，即可得答案．‎ ‎【详解】（1）根据题意，，即，‎ 则，‎ 则；‎ ‎（2）根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①、当时，，则有，此时，‎ 若，即，解可得：，‎ 此时的取值范围为，；‎ ‎②、当时，，则有，‎ 其中当时，，此时，若，即，解可得：，舍去 当时，，此时，若，即，解可得：，‎ 此时的取值为，；‎ - 20 -‎ 综合可得：的取值范围为，．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，分类讨论是解决本题的关键.‎ 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线与直线的交点.‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）若直线l过点P，且与直线垂直，求直线l方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；‎ ‎（2）设与直线垂直的直线方程为，代入点的坐标求得的值，可写出的方程．‎ ‎【详解】（1）由直线与直线组成方程组，‎ 得，‎ 解得，‎ 所以点的坐标为；‎ ‎（2）设与直线垂直的直线的方程为，‎ 又直线过点，所以，解得，‎ 直线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎18.已知经过点和，且圆心C在直线l：上，求方程.‎ - 20 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意设圆心坐标，再由到圆上点的距离等于半径可得参数的值，进而求出半径，求出圆的方程．‎ ‎【详解】由题意设圆心坐标为，由题意则，‎ 所以，解得，‎ 所以圆心，半径，‎ 所以圆的方程为．‎ 所以的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．‎ ‎19.已知函数的定义域为，且满足以下两个条件：①是奇函数；②‎ ‎（1）求常数a，b的值；‎ ‎（2）求证：函数在上是增函数；‎ ‎（3）若，求t的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，，，代入即可求解，；（2）由（1）可求，然后结合单调性的定义即可判断；（3）由，结合（2）的单调性即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意可得，，，‎ 故，，‎ ‎（2）由（1）可得，‎ - 20 -‎ 设，‎ 则，‎ 因为，‎ 所以，，，‎ 故，即，‎ 故函数在，上单调递增；‎ ‎（3）由，‎ 故原不等式可转化为，且，‎ 解可得．‎ 故原不等式的解集，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义的应用及利用单调性求解不等式，属于函数性质的简单应用．‎ ‎20.已知四棱锥中，平面ABCD，，，，M是线段AB的中点.‎ ‎（1）求证：平面PAB；‎ ‎（2）已知点N是线段PB的中点，试判断直线CN与平面PAD的位置关系，并证明你的判断.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）平面PAD；证明见解析 ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，，即得平面PAB；（2）判断平面PAD，取线段PA的中点F，连结FN，DF，证明，平面PAD即得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴是等边三角形，M是线段AB的中点 ‎∴，‎ 又∵平面ABCD，平面ABCD，‎ ‎∴，‎ 又∵，平面PAB ‎∴平面PAB.‎ ‎（2）判断平面PAD 证明：取线段PA的中点F，连结FN，DF，‎ ‎∴，‎ - 20 -‎ ‎∵M是线段AB的中点，，‎ ‎∴，‎ ‎∴CDPN是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面PAD，平面PAD，‎ ‎∴平面PAD.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设（k为常数）‎ ‎①求的定义域，并判断的单调性（无需证明）；‎ ‎②若在上有零点，求k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①定义域是，在定义域上单调递减②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）列出不等式即可解出解集；（2）①根据解析式可得，解出即可，根据复合函数单调性可得为减函数；②利用函数的单调性得到，即得解.‎ 详解】（1）由得，‎ 解得，故解集为 ‎（2）①由解得：，‎ - 20 -‎ ‎∴的定义域是，‎ 判断：在定义域上单调递减.‎ ‎②在上有零点，即方程在上有解，‎ 即在上有解，‎ ‎∵在上是减函数，‎ ‎∴在上是减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴k的取值范围是：.‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数的定义域，考查对数不等式的解法，考查函数单调性的应用和函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量M（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：‎ 第t天 ‎6‎ ‎13‎ ‎20‎ ‎27‎ M（万股）‎ ‎34‎ ‎27‎ ‎20‎ ‎13‎ ‎（1）根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式______；‎ - 20 -‎ ‎（2）根据表中数据，写出日交易量M（万股）与时间t（天）的一次函数关系式：______；‎ ‎（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？‎ ‎【答案】（1）（）（2），（）（3）；在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法，分段求函数解析式即可；（2）利用待定系数法即可求出结果；（3）分段求出的最大值，再比较即可．‎ ‎【详解】（1）当时，设函数解析式为，‎ 把点和代入得：，解得：，. ‎ 当时，.‎ 当时，设函数解析式为，‎ 把点和代入得：，解得：，，‎ ‎（2）设，，‎ 把点和点代入得，解得，‎ ‎，（）.‎ - 20 -‎ ‎（3）（）‎ ‎①当时，，‎ 当时，（万元）；‎ ‎②当时，∵，‎ ‎∴函数y在是单调减函数，‎ ‎∴，‎ 综合①和②，在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，考查函数的解析式的求法和最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ - 20 -‎ ‎ ‎ - 20 -‎