【数学】2019届一轮复习北师大版6-2等差数列及其前n项和学案
§6.2 等差数列及其前n项和
最新考纲
考情考向分析
1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．
4.了解等差数列与一次函数的关系.
以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
知识拓展
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．
( √ )
题组二 教材改编
2．[P46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32
C．33 D．34
答案 B
解析 由已知可得
解得
∴S8＝8a1＋d＝32.
3．[P39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
答案 180
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
题组三 易错自纠
4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A．d> B．d<
C.
0，a7＋a10<0，则当n＝_______时，{an}的前n项和最大．
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.
故当n＝8时，其前n项和最大．
6．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面．
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
题型一 等差数列基本量的运算
1．(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 设{an}的公差为d，
由得
解得d＝4.故选C.
2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于( )
A．100 B．99 C．98 D．97
答案 C
解析 由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，
∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.
思维升华 等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
题型二 等差数列的判定与证明
典例 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明 因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，
bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.
设f(x)＝1＋，
则f(x)在区间和上为减函数．
所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.
引申探究
本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．
解 由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴an＝n2－n.
思维升华 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
跟踪训练 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝
＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式．
故an＝
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
典例 (2018届河北武邑中学调研)数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 D
解析 数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.故选D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
典例 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
答案 B
解析 由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 018＝________.
答案 6 054
解析 由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 017d＝－2 014＋2 017＝3，
∴S2 018＝3×2 018＝6 054.
思维升华 等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练 (1)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________．
答案 6
解析 ∵{an}是等差数列，
∴S2m－1＝×(2m－1)
＝(2m－1)am＝10(2m－1)＝110，可得m＝6.
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ＝＝＝＝
＝＝.
等差数列的前n项和及其最值
考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．
典例1 (1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于( )
A．45 B．60
C．75 D．90
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.
解析 (1)由题意得a3＋a8＝9，
所以S10＝＝＝＝45.
(2)方法一 设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则解得
所以S110＝110a1＋d＝－110.
方法二 因为S100－S10＝＝－90，
所以a11＋a100＝－2，
所以S110＝
＝＝－110.
答案 (1)A (2)－110
典例2 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
规范解答
解 ∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，
∴d＝－.
方法一 由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，
得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
方法二 Sn＝20n＋·
＝－n2＋n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
方法三 由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
1．已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则a7等于( )
A．19 B．20
C．21 D．22
答案 C
解析 在等差数列{an}中，d＝＝2，
则a7＝a3＋4d＝13＋8＝21.故选C.
2．(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1，a2，a3，…组成的新数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为3d的等差数列
D．非等差数列
答案 B
解析 设新数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…的第n项是bn，则bn＝an＋an＋3＝2a1＋(n－1)d＋(n＋2)d＝2a1＋(2n＋1)d，∴bn＋1－bn＝2d，∴新数列是以2d为公差的等差数列，故选B.
3．(2018届贵州黔东南州联考)已知等差数列的前3项依次为a，a＋2,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110，则k的值为( )
A．9 B．11
C．10 D．12
答案 C
解析 由a，a＋2,3a成等差数列，得2(a＋2)＝a＋3a，解得a＝2，所以d＝4－2＝2，所以Sk＝2k＋×2＝k2＋k＝110，解得k＝10，故选C.
4．(2018届广东广州海珠区综合测试)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}的前6项和为( )
A．－20 B．－18
C．－16 D．－14
答案 B
解析 等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，S6＝6×(－8)＋×2＝－18，故选B.
5．(2017·唐山统考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( )
A．18 B．12
C．9 D．6
答案 D
解析 由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
6．(2017·湖南省湘中名校联考)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A．2 016 B．2 017
C．4 032 D．4 033
答案 C
解析 因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝>0，S4 033＝＝4 033a2 017<0，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032，故选C.
7．(2018届江苏淮安盱眙中学调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－15，则正整数k＝________.
答案 17
解析 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－15，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，
∴Sk＋1＝＝－15＋，解得k＝17.
8．等差数列{an}中的a4，a2 016是3x2－12x＋4＝0的两根，则＝________.
答案 －
解析 因为a4和a2 016是3x2－12x＋4＝0的两根，所以a4＋a2 016＝4.又a4，a1 010，a2 016成等差数列，所以2a1 010＝a4＋a2 016，即a1 010＝2，所以＝－.
9．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．
答案 21
解析 由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．
10．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
答案 130
解析 由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意得解得
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为
1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
12．(2018·贵州质检)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.
13．(2017·郑州一模)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是______．
答案
解析 ∵2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，
∴数列{nan}是以a1＝1为首项，2a2－a1＝5为公差的等差数列，∴20a20＝1＋5×19＝96，
解得a20＝＝.
14．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.
答案
解析 ∵＝＋，∴－＝，
∴是以＝1为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，
故a10＝.
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.
答案 5
解析 ∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
∴数列也为等差数列．
∴＋＝，即＋＝0，
解得m＝5，经检验符合题意．
16．(2017·保定一模)设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是________．
答案 121
解析 设数列{an}的公差为d，
由题意得2＝＋，
因为a1＝1，所以2＝＋，
化简可得d＝2a1＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
Sn＝n＋×2＝n2，
所以＝＝2
＝2
＝2.
又为单调递减数列，
所以≤＝112＝121.
