【数学】2019届一轮复习北师大版4-5 简单的三角恒等变换第1课时学案
§4.5 简单的三角恒等变换
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考情考向分析
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
知识拓展
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝ .
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.( √ )
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( × )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
题组二 教材改编
2．[P127T2]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．[P131T5]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案
解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．[P146T4]tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .
答案
解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝－tan 20°tan 40°，
∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
题组三 易错自纠
5．化简：＝ .
答案
解析 原式＝
＝＝＝.
6．已知α是第二象限角，且sin(π－α)＝，则sin 2α的值为 ．
答案 －
解析 由已知得sin α＝，又α在第二象限，
∴cos α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
7．已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝ .
答案 －
解析 由α∈，sin α＝知，cos α＝－，
所以tan α＝－，
所以tan 2α＝＝＝－.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
1．(2018·武汉模拟)已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为( )
A. B.
C. D．1
答案 D
解析 ∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝＝＝1.
2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于角α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，
故选A.
3．计算的值为 ．
答案
解析 ＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
题型二 和差公式的灵活应用
命题点1 角的变换
典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案
解析 依题意得sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝
α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为 ．
答案
解析 cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，
∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.
命题点2 三角函数式的变换
典例 (1)化简： (0<θ<π)；
(2)求值：－sin 10°.
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，
∴＝ ＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2cos cos θ.
故原式＝＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
引申探究
化简： (0<θ<π)．
解 ∵0<<，∴＝2sin ，
又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2
＝2sin
∴原式＝
＝－cos θ.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练 (1)(2018·广州质检)等于( )
A．－ B．－
C． D．
答案 C
解析 原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
(2)已知sin(α－45°)＝－，0°<α<90°，则cos α＝ .
答案
解析 ∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，
∴cos(α－45°)＝＝，
∴cos α＝cos[(α－45°)＋45°]
＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°
＝×－×＝
＝.
用联系的观点进行三角变换
典例 (1)设α为锐角，若cos＝，则sin 的值为 ．
(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．
(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .
思想方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
解析 (1)∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
(2)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
(3)＝
＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－，∴原式＝－.
答案 (1) (2)2 (3)－
1．(2018·山西五校联考)若cos θ＝，θ为第四象限角，则cos的值为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 由cos θ＝，θ为第四象限角，得sin θ＝－，
故cos＝(cos θ－sin θ)
＝×＝.故选B.
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B． C．－ D．
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)
＝sin 30°＝.
3．(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α等于( )
A．－ B． C．－ D．
答案 C
解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
故选C.
4．(2017·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝ ，则有( )
A．a0，∴<α<.
又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.
9．若sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α＝ .
答案
解析 ∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，
又α∈，sin α≠0，∴cos α＝－，
又α∈，
∴sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
10.＝ .
答案
解析 ＝＝
＝＝.
11．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝ .
答案
解析 由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，
解得sin 2α＝－，
所以sin2＝
＝＝＝.
12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .
答案
解析 依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin
＝×＋×＝.
13．(2017·河北衡水中学调研)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A．－ B． C．－ D．
答案 C
解析 由3cos 2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
又由α∈可知cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin α·cos α＝，故sin 2α＝－.故选C.
14．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为 ．
答案
解析 因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝
＝＋＝.
15．(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．
答案 [－1,1]
解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，∴α－β＝，
∴即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
∵≤α≤π，∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，
即取值范围为[－1,1]．
16．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，求sin的值．
解 (1)∵f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，
而y＝a＋2cos2x为偶函数，
∴y＝cos(2x＋θ)为奇函数．
∵θ∈(0，π)，∴θ＝，
∴f(x)＝－sin 2x(a＋2cos2x)．
∴f＝－sin ＝－(a＋1)＝0，
∴a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin 4x.
∵f＝－sin α＝－，∴sin α＝.
又∵α∈，∴cos α＝－.
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin
＝×－×＝.
