【数学】2019届一轮复习北师大版分段函数的性质、图象以及应用学案

【数学】2019届一轮复习北师大版分段函数的性质、图象以及应用学案

热点一 分段函数的性质、图象以及应用 新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点 .纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学 看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1 分段函数与函数值 分段函数 定义域中各段的与的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法 分段函数分段研究.‎ ‎ 一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题．‎ 例 1【2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】设，则__________．学= ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎2 分段函数与图象 ‎ 分段函数的图象分段画.‎ 例 2【2017届湖南省长沙市第一中学高考模拟卷一】已知函数，则函数 的大致图象是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3 分段函数与方程 已知函数值求自变量或其它参数的值的问题，一般按自变量的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.‎ 例 3【2018届北京市东城区高三上学期期中】已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时， ，‎ ‎∴在上是减函数，‎ 当时， ，‎ ‎∴在上是减函数，在上是增函数，‎ 作出的大致图像如图所示 ‎ 设，则当时，方程有一解， ‎ 当时，方程有两解，‎ 当时，方程有三解，‎ 有，得，若方程，有两解， ，则，‎ ‎∴方程不可能有两个实数根，‎ ‎∴方程不可能有个解．‎ 故选．‎ ‎4 分段函数与不等式 ‎ 将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.‎ 例4【2018届福建省厦门市高三上学期期末】已知函数若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. [ 学 ]‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数的图象（图中黑色部分），则函数的图象向左平移 个长度单位，得到函数的图象（图中红色部分），设两图象交于点，且横坐标分别为．由图象可得满足的实数的取值范围为．‎ 对于，由，解得，所以，解得或（舍去）．‎ 对于，由，解得．‎ 综上可得实数的取值范围为．选D．‎ ‎5 分段函数与零点 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．‎ 例 5【2018届四川省成都实验中学高三上学期1月月考】已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)[ 学+ + ]‎ A. [－1，1) B. [0，2] C. [－2，2) D. [－1，2)‎ ‎【答案】D ‎6 分段函数与解析式 分段函数是定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.‎ 例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知是定义在上的奇函数.当时， ，则不等式的解集用区间表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎7 分段函数与周期和最值 分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像 解决.学 [ | | ]‎ 例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知，函数若的值域为，则的最大值与最小值之积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，分别作出和的图像， 在是减函数且 ，因的值域是，故只能在上取最小值，所以. 又，否则时， ， 时， ， 时， 在上无意义. 故的最小值为，最大值为，它们的乘积为，选 B.‎ 点睛 这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间有最大值，但无最小值，故函数的最小值只能在取得，但是，因此且 ，再根据的最大值为3，得到，所以的最小值为，最大值为，它们的乘积为6.‎ 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知是定义在上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上所有零点之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时， ，，于是图象如图所示，‎ 又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，所以，所以零点之和为.‎ 故选A．‎ ‎8 分段函数的单调性 例 9已知函数 满足对任意,都有 成立,则的范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛 解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.‎ ‎【反思提升】综合上面的八种类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法 分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.‎