【数学】2021届一轮复习北师大版（文）选修4－5　第1讲　绝对值不等式学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版（文）选修4－5　第1讲　绝对值不等式学案

第1讲　绝对值不等式 一、知识梳理 ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．‎ 常用结论 ‎1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：‎ ‎(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．‎ ‎(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．‎ ‎2．解绝对值不等式的两个要点 ‎(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．‎ ‎(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．‎ 二、教材衍化 ‎ ‎1．求不等式3≤|5－2x|<9的解集．‎ 解：由题意得即解得不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．‎ ‎2．求不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集．‎ 解：不等式|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于或或解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}．‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)‎ ‎(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√‎ 二、易错纠偏 (1)解集中等号是否成立不注意；‎ ‎(2)含参数的绝对值不等式讨论不清．‎ ‎1．不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集．‎ 解：　不等式等价于或或解得0≤x≤5，故不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集为[0，5]．‎ ‎2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，求实数k的值．‎ 解：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.‎ ‎　　　　　　含绝对值不等式的解法(师生共研)‎ ‎ (2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ ‎【解】　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，‎ 由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，‎ 当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；‎ 当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；‎ 当x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－.‎ 所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．‎ ‎(2)由|x－a|＋3x≤0，可得或 即或 当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－}．‎ 由－＝－1，得a＝2.‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．‎ 当a<0时，不等式的解集为.‎ 由＝－1，得a＝－4.‎ 综上，a＝2或a＝－4.‎ 含绝对值不等式解法的常用方法 ‎　‎ ‎　设函数f(x)＝|x＋4|.求不等式f(x)>1－x的解集．‎ 解：f(x)＝|x＋4|＝所以不等式f(x)>1－x等价于 解得x>－2或x<－10，‎ 故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}．‎ ‎　　　　　绝对值不等式性质的应用(师生共研)‎ ‎ (2020·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；‎ ‎(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.‎ ‎【解】　(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，‎ 等价于或或 解得x≤－1或x≥1，‎ 所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．‎ ‎(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当，即x＝±1时等号成立，‎ 所以f(－x)＋f()≥4.‎ 两数和与差的绝对值不等式的性质 ‎(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．‎ ‎(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．‎ ‎　(2020·陕西省五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.‎ ‎(1)解不等式f(x)<|x|＋1；‎ ‎(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.‎ 解：(1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1，‎ 即或或 得≤x<2或01的解集为{x|x>}．‎ ‎(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；‎ 若a>0，|ax－1|<1的解集为0a成立有解，求a的取值范围；‎ ‎(2)解不等式f(x)a成立有解，应有a3，‎ 所以x<－1；‎ 当－1－2x＋1.‎ 所以1－3，故x≥2.‎ 综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ ‎5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f(x)＝|4x－1|－|x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<8；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)＋5|x＋2|－，无解；‎ 当－2－，‎ 即－9.‎ 解得a<－1或a>9.‎ ‎6．(2020·原创冲刺卷三)已知函数f(x)＝|x－2a|，a∈R，若∀x∈R，f(x)都满足f(x)＝f(4－x)．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若∃x∈R，使得不等式f(2x－1)－f(x)≤4－2m成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)因为f(x)＝f(4－x)，x∈R，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)＝|x－2a|的图象关于直线x＝2a对称，所以2a＝2，a＝1.‎ ‎(2)令h(x)＝f(2x－1)－f(x)＝|2x－3|－|x－2|＝h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以h(x)min＝h()＝－，故－≤4－2m，解得m≤，故实数m的取值范围是.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>2；‎ ‎(2)记函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，若对任意的x∈R，不等式|k－1|2的解集为{x|x<－或x>0}．‎ ‎(2)g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|＋(|2x＋1|＋|2x－1|)≥|(x－1)－(x＋1)|＋|(2x＋1)－(2x－1)|＝4，‎ 当且仅当，即x∈[－，]时取等号，‎ 若对任意的x∈R，不等式|k－1|
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