【数学】2019届一轮复习苏教版（理）坐标系与参数方程学案

【数学】2019届一轮复习苏教版（理）坐标系与参数方程学案

第一节坐标系 ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，‎ 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标 ‎①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ.‎ ‎②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.‎ ‎③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：‎ ‎4．常见曲线的极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为，半径为r的圆的极坐标方程 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线的极坐标方程 ρsin θ＝a(0<θ<π)‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．‎ 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ 答案： ‎2．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离是________．‎ 解析：设圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离为d，‎ 因为圆的半径为2, d＝2·sin＝1.‎ 答案：1‎ ‎1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．‎ ‎2．极角θ一般规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．求极坐标系中A，B两点间的距离．‎ 解：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，AB＝OA＋OB＝6.‎ 法二：A，B的直角坐标为A(1，－)，‎ B(－2,2)．‎ 所以|AB|＝＝＝6.‎ ‎2．求圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标．‎ 解：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ得：‎ ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，‎ 化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.‎ 圆心的坐标为，化成极坐标为(答案不唯一)．‎ 　 ‎ [题组练透]‎ ‎1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．‎ 解：由得到①‎ 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.‎ 因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.‎ ‎2．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ 解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由上述可知，将代入x2－＝1‎ 得－＝1，化简得－＝1，‎ 即－＝1为曲线C′的方程，‎ 可见仍是双曲线，则焦点坐标(－5,0)，(5,0)为所求．‎ ‎3．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．‎ 解：由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sin得3y＝3sin，‎ 整理得y＝sin，‎ 故f(x)＝sin.‎ 所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.‎ ‎[谨记通法]‎ 伸缩变换公式应用时的2个注意点 ‎(1)‎ 曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．‎ ‎(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．‎ 　对应学生用书P168‎ ‎[典例引领]‎ ‎(2018·南京学情调研)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的极坐标方程为ρsin＝m.若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．‎ 解：曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．‎ 直线l的极坐标方程是ρsin＝m，‎ 即ρcos θ＋ρsin θ＝m，‎ 化为直角坐标方程为x＋y－2m＝0.‎ 因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，‎ 所以＝1，‎ 解得m＝－或m＝.‎ 所以实数m的值为－或.‎ ‎[由题悟法]‎ ‎1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 ‎(1)取直角坐标系的原点为极点．‎ ‎(2)以x轴的非负半轴为极轴．‎ ‎(3)两种坐标系规定相同的长度单位．‎ ‎2．极坐标与直角坐标互化的策略 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ ‎[即时应用]‎ ‎(2018·苏州测试)自极点O任意作一条射线与直线ρcos θ＝3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM·OP＝12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．‎ 解：设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)．‎ 因为OM·OP＝12，所以ρρ′＝12.‎ 因为ρ′cos θ＝3，所以·cos θ＝3，即ρ＝4cos θ，‎ 则动点P的极坐标方程为ρ＝4cos θ. ‎ 又因为极点在该曲线上，所以方程两边可同时乘以ρ，‎ 得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0.‎ 　 ‎[典例引领]‎ 在极坐标系中，设直线l过点A，B(3,0)，且直线l与曲线C：ρ＝acos θ(a>0)有且只有一个公共点，求实数a的值．‎ 解：依题意，A，B(3,0)的直角坐标为A，B(3,0)，‎ 从而直线l的普通方程为x＋y－3＝0，‎ 曲线C：ρ＝acos θ(a>0)的普通方程为2＋y2＝(a>0)，‎ 因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，‎ 所以＝(a>0)，‎ 解得a＝2(负值舍去)．‎ ‎[由题悟法]‎ 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题．‎ ‎[即时应用]‎ ‎　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM·OP＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．‎ 由题设知OP＝ρ，OM＝ρ1＝.‎ 由OM·OP＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，‎ 由题设知OA＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝OA·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎1．(2018·苏北四市一模)已知曲线C的极坐标方程为ρsin＝3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．‎ 解：由ρsin＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3.‎ 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x＋y－6＝0.‎ ‎2．(2018·南通一调)在极坐标系中，求直线θ＝(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．‎ 解：法一：在ρ＝4sin θ中，令θ＝，得ρ＝4sin＝2，即弦长为2.‎ 法二： 以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ 直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x.①‎ 曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.②‎ 由①②得或 所以直线θ＝(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为＝2.‎ ‎3．(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－－4＝0，求圆C的半径．‎ 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρcos＝1得 ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎5．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且得圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4，‎ 由ρ2－2ρcos＝2，‎ 得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2，‎ 即x2＋y2－2(x＋y)＝2，‎ 故圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)联立方程两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y－1＝0，‎ 故经过两圆交点的直线的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.‎ ‎6．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：‎ ‎(1)直线的极坐标方程；‎ ‎(2)极点到该直线的距离．‎ 解：(1)如图，由正弦定理得 ＝.‎ 即ρsin＝sin＝，‎ 所以所求直线的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(2)作OH⊥l，垂足为H，‎ 在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，‎ 则OH＝OAsin＝，‎ 即极点到该直线的距离等于.‎ ‎7．(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin被射线θ＝θ0，ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈所截得的弦长为2，求θ0的值．‎ 解：圆ρ＝4sin的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y＝kx(x≥0，k＞0)．‎ 圆心(1，)到直线y＝kx的距离d＝.‎ 根据题意，得2＝2，解得k＝.‎ 即tan θ0＝，又θ0∈，所以θ0＝.‎ ‎8．在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．‎ 解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，‎ 在Rt△OAM中，∠OMA＝，‎ ‎∠AOM＝2π－θ－，OA＝4.‎ 因为cos∠AOM＝，‎ 所以OM＝OA·cos∠AOM，‎ 即ρ＝4cos＝4cos，‎ 验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，‎ 故ρ＝4cos为所求．‎ ‎(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，‎ 易得∠AOP＝，‎ 所以OP＝OAcos∠AOP＝2.‎ 法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，‎ 所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos.‎ ‎(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，‎ 得ρ＝2，‎ 所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2.‎ 第二节参数方程 ‎1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．‎ 解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.‎ 答案：x－y－1＝0‎ ‎2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min＝________.‎ 解析：由(φ为参数)得，＋＝1，‎ 当AB⊥x轴时，AB有最小值．‎ 所以ABmin＝2×＝.‎ 答案： ‎1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则不等价．‎ ‎2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即M0M＝|t|.‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．‎ 解析：由(θ为参数)消去参数θ得y＝－2x2(－1≤x≤1)．‎ 答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为________________________________________________________________________．‎ 解析：将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，‎ 解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝.‎ 答案： 　 ‎[题组练透]‎ ‎1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．‎ 解：将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α，‎ 得圆x2＋y2＝9.‎ 又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＜3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎2．(2018·苏州暑假测试)在平面直角坐标系xOy中，求圆(α为参数)上的点到直线(t为参数)的最小距离．‎ 解：圆的普通方程是x2＋y2＝4，直线的普通方程是3x＋y－8＝0，‎ 圆心到直线的距离是d＝＝>r＝2，所以所求最小距离是d－r＝－2.‎ ‎3．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ 解：圆的半径为，记圆心为C，连结CP，‎ 则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，‎ yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．‎ 所以圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎[谨记通法]‎ 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．‎ 　对应学生用书P170‎ ‎[典例引领]‎ ‎(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1.‎ C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，‎ 所以PQ的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为 ‎.‎ ‎[由题悟法]‎ ‎(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③M0M1·M0M2＝|t1t2|.‎ ‎[即时应用]‎ ‎1．(2018·南通中学高三数学练习)在平面直角坐标系xOy中，已知直线(l为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：法一：将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x.‎ 将直线(l为参数)代入y2＝8x，得l2－8l＋24＝0，‎ 解得l1＝2，l2＝6，则|l1－l2|＝4，‎ 所以线段AB的长为4.‎ 法二：将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x.‎ 将直线(l为参数)化为普通方程为2x－2y＋3＝0，‎ 由得或 所以AB的长为 ＝4.‎ ‎2．(2018·苏州质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求PA·PB的值．‎ 解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，‎ 因为ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0，‎ 所以t1t2＝－3，所以PA·PB＝|t1t2|＝3.‎ 　对应学生用书P171‎ ‎[典例引领]‎ ‎(2018·泰州中学高三年级学情调研)以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；‎ ‎(2)若直线l的参数方程为(t为参数)，当直线l与曲线C相交于A，B两点时，求AB的长．‎ 解：(1)因为曲线C的极坐标方程是ρ＝，‎ 所以ρ2sin2θ＝ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝x，‎ 所以曲线C是以x轴为对称轴，开口向右的抛物线．‎ ‎(2)因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝x－，代入y2＝x，消去x整理得2y2－2y－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，‎ 所以AB＝＝.‎ ‎[由题悟法]‎ 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 ‎(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．‎ ‎[即时应用]‎ ‎(2018·苏州高三期中调研)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝acos(a≠0)．‎ ‎(1)写出直线l和圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若圆C任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为，求a的值．‎ 解：(1)直线l的普通方程为x＋2y－2＝0，‎ 圆C的直角坐标方程为2＋2＝.‎ ‎(2)因为圆C任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为，‎ 所以圆心C到直线l的距离为，即＝，‎ 解得a＝3或a＝－.‎ ‎1．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)与曲线C的参数方程为(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：由题意知直线l的普通方程是4x－3y－4＝0，‎ 曲线C的普通方程是y2＝4x.‎ 由解得或 所以AB＝＝.‎ ‎2．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝，求直线l与曲线C的交点的直角坐标．‎ 解：将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为y＝x.‎ 将曲线C的参数方程化为普通方程可得y＝2－x2(－1≤x≤1)．‎ 由得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2，‎ 又－1≤x≤1，所以x＝1，‎ 所以直线l与曲线C的交点的直角坐标为(1,1)．‎ ‎3．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．‎ 解：在平面直角坐标系xOy中，‎ 曲线C1的普通方程是x＝y(y≥0)；‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4.‎ 解方程组得 所以曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标为(，1)．‎ ‎4．(2018·徐州高三年级期中考试)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a>0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)，若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．‎ 解：由(t为参数)，可得直线l的普通方程为12x－5y－17＝0，‎ 由ρ＝2acos θ(a>0)得ρ2＝2aρcos θ 所以圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2.‎ 因为直线l与圆C恒有公共点，‎ 所以≤a，‎ 解得a≥，‎ 所以实数a的取值范围为.‎ ‎5．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．‎ 解：直线l的参数方程化为普通方程为4x－3y＝0，‎ 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 则圆C的圆心到直线l的距离为d＝＝，‎ 所以AB＝2＝.‎ ‎6．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ－4cos θ＝0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：因为曲线C经过极点，所以其极坐标方程也为ρ2sin2 θ－4ρcos θ＝0，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为y2－4x＝0.‎ 把直线l的参数方程代入y2－4x＝0，得t2＋8t＝0，解得t1＝0，t2＝－8.‎ 所以AB＝|t2－t1|＝8.‎ ‎7．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．‎ 解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0.‎ 曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.‎ ‎(2)因为曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，即x2＋＝1，‎ 所以曲线C上的点的坐标可表示为(cos α，sin α)．‎ 所以d＝＝ ‎＝.‎ 所以d的最小值为＝，d的最大值为＝.‎ 所以≤d≤，即d的取值范围为.‎ ‎8．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ 解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcos θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.‎ 由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，‎ 所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝8，t1t2＝7，‎ 所以AB＝|t1－t2|＝×＝×＝6，‎ 因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，‎ 所以△AOB的面积是AB·d＝×6×2＝12.‎ 选修4－5 不等式选讲