四川省南充市2018届高三第三次诊断考试数学（文、理）试题
秘密★启封并使用完毕前【考试时间:2018 年 4 月 24 日下午 15 ∶ 00 ~ 17 ∶ 00】
高三数学(理科)第 1 页(共 4 页)
四川高三联合诊断考试
数学试题(理科)
本试卷分第
Ⅰ
卷(选择题)和第
Ⅱ
卷(非选择题)。 第
Ⅰ
卷
1
至
2
页,第
Ⅱ
卷
3
至
4
页,共
4页,满分
150
分,考试时间
120
分钟。 考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸
上答题无效,考试结束后,只将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
注意事项:
必须使用
2B
铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑。
第
Ⅰ
卷共
12
小题。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x | x-1≤0},B ={x | x2
-4x≤0},则 A∩B =
A. {x | x≤4} B. {x |0≤x≤4} C. {x |0≤x≤1} D. {x |1≤x≤4}
2. 设复数 z
1 ,z
2
在复平面内的对应点关于虚轴对称,z
1 =3+i,则 z
1
z
2 =
A. 10 B. -10 C. -9+i D. -9-i
3. 已知 cos(α+
π
4 )= 2
3 ,则 sin(
π
4 -α)的值等于
A. 2
3 B. - 2
3 C. 5
3 D. ± 5
3
4. 如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,那么 EF→=
A. 1
2
AB→+ 1
2
AD→ B. - 1
2
AB→- 1
2
AD→
C. - 1
2
AB→+ 1
2
AD→ D. 1
2
AB→- 1
2
AD→
5. 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的 6 次数学测
试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图
所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是 x甲 ,x乙 ,则下列
说法正确的是
A． x甲 >x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
B. x甲 >x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛
C． x甲
0,b>0)的左、右焦点分别为 F
1 、F
2 ,过 F
2
作平行于 C 的渐近线
的直线交 C 于点 P,若 PF
1 ⊥PF
2 ,则 C 的渐近线方程为
A． y = ±x B． y = ± 2 x C． y = ±2x D． y = ± 5 x
12. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞ )上单调递减,若不等式 f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1)
≥2f(1)对任意 x∈[1,3]恒成立,则实数 a 的取值范是
A． [ 1e ,2+ln3
3 ] B． [ 1e ,e] C． [ 1e ,+∞ ) D. [2,e]
高三数学(理科)第 3 页(共 4 页)
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. (x-1)
7 的展开式中 x2 的系数为 .
14. 若实数 x,y 满足 2x-y≥0,y≥x,y≥-x+b{ 且 z=2x+y 的最小值为 3,则 b = .
15. 在△ABC 中,AB =2,AC =3,BC 边上的中线 AD=2,则△ABC 的面积为 .
16. 已知单位向量 i→
, j→
,k→ 两两的夹角均为 θ(0<θ<π,且 θ≠
π
2 ),若空间向量 a→
= x i→
+y j→
+zk→
(x,
y,z∈R),则有序实数组(x,y,z)称为向量 a→ 在“仿射”坐标系 O-xyz(O 为坐标原点)下的
“仿射”坐标,记作 a→
=(x,y,z) θ,有下列命题:
①已知 a→
=(1,3,-2) θ,b→
=(4,0,2) θ,则 a→
·b→
=0;
②已知 a→
=(x,y,0)
π
3 ,b→
=(0,0,z)
π
3 ,其中 x,y,z 均为正数,则当且仅当 x =y 时,向量 a→
,b→ 的
夹角取得最小值;
③已知 a→
=(x
1 ,y
1 ,z
1 ) θ,b→
=(x
2 ,y
2 ,z
2 ) θ,则 a→
+b→
=(x
1 +x
2 ,y
1 +y
2 ,z
1 +z
2 ) θ;
④已知 OA→=(1,0,0)
π
3 ,OB→=(0,1,0)
π
3 ,OC→=(0,0,1)
π
3 ,则三棱锥 O-ABC 的表面积 S= 2 .
其中真命题为 (写出所有真命题的序号).
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本题满分 12 分)已知{an }是等比数列,a
1 =2,且 a
1 ,a
3 +1,a
4
成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an }的通项公式;
(Ⅱ)若 bn =log2
an ,求数列{bn }前 n 项的和.
18. (本题满分 12 分)某种产品的质量以其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,记其质量指标值
为 k,当 k≥85 时,产品为一级品;当 75≤k<85 时,产品为二级品,当 70≤k<75 时,产品为
三级品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做实验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果:(以下均视频率为概率)A 配方的频数分配表
指标值分组 [75,80) [80,85) [85,90) [90,95)频数 10 30 40 20
B 配方的频数分配表
指标值分组 [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95)频数 5 10 15 40 30
(Ⅰ)若从 B 配方产品中有放回地随机抽取 3 件,记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级
品”为事件 C,求事件 C 发生的概率 P(C);
(Ⅱ)若两种新产品的利润率 y 与质量指标 k 满足如下关系:y =
t,k≥85,
5t2
,75≤k<85,t2
,70≤k<75,
{ 其中 1
7 1,且 f(ab)>| a | ·f(
b
a ),证明:| b | >2.
秘密★启封并使用完毕前【考试时间:2018 年 4 月 24 日下午 15 ∶ 00 ~ 17 ∶ 00】
高三数学(文科)第 1 页(共 4 页)
四川高三联合诊断考试
数学试题(文科)
本试卷分第
Ⅰ
卷(选择题)和第
Ⅱ
卷(非选择题)。 第
Ⅰ
卷
1
至
2
页,第
Ⅱ
卷
3
至
4
页,共
4页,满分
150
分,考试时间
120
分钟。 考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸
上答题无效,考试结束后,只将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
注意事项:
必须使用
2B
铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑。
第
Ⅰ
卷共
12
小题。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x | x≤1},B ={x |0≤x≤4},则 A∩B =
A. {x | x≤4} B. {x |0≤x≤4} C. {x |0≤x≤1} D. {x |1≤x≤4}
2. 设复数 z
1 ,z
2
在复平面内的对应点关于虚轴对称,z
1 =3+i,则 z
1
z
2 =
A. 10 B. -10 C. -9+i D. -9-i
3. 已知等差数列{an }中,a
1 =1,a
3 = -5,则 a
1 -a
2 -a
3 -a
4 =
A. -14 B. -9 C. 11 D. 16
4. 在同一坐标系中,函数 y =2
-x 与 y = -log2
x 的图象都正确的是
5. 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的 6 次数学测试的分数进行统
计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲、乙两
人的平均成绩分别是 x甲 ,x乙 ,则下列说法正确的是
A． x甲 >x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
B. x甲 >x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛
C． x甲 0,b>0)的左、右焦点分别为 F
1 、F
2 ,过 F
2
作平行于 C 的渐近线
的直线交 C 于点 P,若 PF
1 ⊥PF
2 ,则 C 的渐近线方程为
A． y = ±x B． y = ± 2 x C． y = ±2x D． y = ± 5 x
高三数学(文科)第 3 页(共 4 页)
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 已知 AB→·AC→=0,| AB→| =3,| AC→| =2,则| BC→| = .
14. 已知函数 f(x)= 2
-x
-2, x≤0,
f(x-2)+1,x>0,
{ 则 f(2018)= .
15. 已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2
= ax 的焦点 F,且与 y 轴相交于点 A,若△OAF(O 为坐
标原点)的面积为 4,则 a = .
16. 在数列{an }中,若 a2n -a2n-1 =p(n≥2,n∈N∗
,p 为常数),则{an }称为“等方差数列”. 下列对
“等方差数列”的判断:
①若{an }是等方差数列,则{a2n }是等差数列;
②{(-1)
n
}是等方差数列;
③若{an }是等方差数列,则{akn }(k∈N∗
,k 为常数)也是等方差数列.
其中正确命题序号为 (写出所有正确命题的序号).
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本题满分 12 分)
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c-b =2bcosA.
(Ⅰ)若 a =2 6 ,b =3,求边 c;
(Ⅱ)若 C =
π
2 ,求角 B.
18. (本题满分 12 分)
汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,欧盟从 2012 年开始就对二氧化碳排放量超过
130g / km 的 M
1
型汽车进行惩罚,某检测单位对甲、乙两类 M
1
型品牌汽车各抽取 5 辆进行
二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g / km):
甲 80 110 120 140 150乙 100 120 x 100 160
经测算发现,乙类 M
1
型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为 x-乙 =120g / km.
(Ⅰ)从被检测的 5 辆甲类 M
1
型品牌车中任取 2 辆,则至少有 1 辆二氧化碳排放量超过
130g / km 的概率是多少?
(Ⅱ)求表中 x,并比较甲、乙两类 M
1
型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.
(S2
= 1n [(x
1 -x-)
2
+(x
2 -x-)
2
+…+(xn -x-)
2
],其中,x- 表示 xi(i = 1,2……n)的平均数,n 表示
样本数量,xi 表示个体,S2 表示方差)
高三数学(文科)第 4 页(共 4 页)
19. (本题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC =2AB =4,E,F 分别在 BC,AD 上,EF∥AB,现将四边形 ABCD 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC.
(Ⅰ)若 BE = 1,在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P,且 AP→ = λPD→,使得 CP ∥平面
ABEF? 若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥 A-CDF 的体积的最大值.
20. (本题满分 12 分)
已知椭圆 C:
x2
a2 +
y2
b2 =1(a>b>0)的左焦点 F(-2,0)左顶点 A
1(-4,0).
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)已知 P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点. 若
∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值? 请说明理由.
21. (本题满分 12 分)
设函数 f(x)= lnx+
k
x ,k∈R.
(Ⅰ)若曲线 y =f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线 x-2 = 0 垂直,求 f(x)的单调递减区间和
极值(其中 e 为自然对数的底数);
(Ⅱ)若对任意 x
1 >x
2 >0,f(x
1 )-f(x
2 )1,且 f(ab)>| a | ·f(
b
a ),证明:| b | >2.
