湖南省顶级名校2020届高三数学（理）第七次（5月）大联考试题（Word版附答案）

湖南省顶级名校2020届高三数学（理）第七次（5月）大联考试题（Word版附答案）

数学(理科) 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U＝Z，A＝{1，2，3，4}，B＝{x|(x＋1)(x－3)>0，x∈Z}，则 A∩( Uð B)＝ A.{1，2} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4} 2.已知复数 z＝ 1 2 i i   ，则 z 的共轭复数 z ＝ A. 1 3 5 5 i B. 1 3 5 5 i C. 1 3 5 5 i  D. 1 3 5 5 i  3.函数 y＝ax－ 1 a (a>0，a≠1)的图象可能是 4.(1－2t)(1＋t)6 的展开式中，t3 项的系数为 A.20 B.30 C.－10 D.－24 5.2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式。孪生 素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p 使得 p＋2 是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数。从 20 以内的素数中任取两个，其中能构 成孪生素数的概率为 A. 1 14 B. 1 7 C. 3 14 D. 1 3 6.如图所示的程序框图，则输出的 x，y，z 的值分别是 A.1300 9 ，600，1120 3 B.1200，500，300 C.1100，400，600 D.300，500，1200 7.若θ∈[ ,4 2   ]，sin2θ＝ 3 7 8 ，则 sinθ＝ A. 3 5 B. 4 5 C. 7 4 D. 3 4 8.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，M 是抛物线 C 上的一点， 若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36π，则 p＝ A.2 B.4 C.6 D.8 9.在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，△ABC 为等边三角形，PA＝AB，E 是 PC 的中点， 则异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 10.直线 x＝2 与双曲线 2 2 116 9 x y  的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任意一点，若 OP aOA bOB    (a，b∈R，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是 A.|ab|＝2 B.a2＋b2≥4 C.|a－b|≥2 D.|a＋b|≥2 11.已知函数 f(x)＝cosxsin2x，给出下列命题： ① x∈R，都有 f(－x)＝－f(x)成立； ②存在常数 T≠0， x∈R 恒有 f(x＋T)＝f(x)成立； ③f(x)的最大值为 2 3 9 ； ④y＝f(x)在[ ,6 6   ]上是增函数。 以上命题中正确的为 A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 12.已知函数 f(x)＝lnx－ 1 2 ax2＋(a－1)x＋a(a>0)的值域与函数 f(f(x))的值域相同，则 a 的取值 范围为 A.(0，1] B.(1，＋∞) C.(0， 4 3 ] D.[ 4 3 ，＋∞) 第 II 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把各题答案的最简形式写在题中的横 线上。 13.已知向量 a＝(1，4)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)与(2a－b)共线，则实数 k＝ 。 14.某中学有学生 3600 名，从中随机抽取 300 名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不 超过 1 公里的学生共有 15 人，不超过 2 公里的学生共有 45 人，由此估计该学校所有学生中 居住地到学校的距离在(1，2]公里的学生有 人。 15.如图所示，在正四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，E，F 分别是 AB， CD 的中点，cos∠PEF＝ 2 2 ，若 A，B，C，D，P 在同一球面上，则此球的体积为 。 16.如图，在△ABC 中，AC⊥BC，D 为 BC 边上的点，M 为 AD 上的点，CD＝1，∠CAB＝ ∠MBD＝∠DMB，则 AM＝ 。 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}和递增的等比数列{bn}满足：a1＝1，b1＝3 且 b3＝2a5＋3a2，b2＝a4＋2。 (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，若对任意的 n∈N*，kbn≥Sn 恒成立，求实数 k 的取值范围。 18.(本小题满分 12 分) 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°。 (1)求证：A1C⊥B1A1； (2)若平面 ABC⊥平面 ABB1A1，且 AB＝BC，求直线 CB1 与平面 A1BC 所成角的正弦值。 19.(本小题满分 12 分) 2019 年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一 时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活。为了解决这个 问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个 国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定。某大型生猪生产企业分析当前市场形势， 决定响应政府号召，扩大生产。决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪 的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究。现相关数据统计如下表： (1)研究员甲根据以上数据认为 y 与 x 具有线性回归关系，请帮他求出 y 关于 x 的线性回归方 程    1 y bx a  ；(保留小数点后两位有效数字) (2)研究员乙根据以上数据得出 y 与 x 的回归模型：   2 4 8 0 8y x  . . 。为了评价两种模型的拟 合效果，请完成以下任务： ①完成下表(计算结果精确到 0.01 元)(备注： ie 称为相应于点(xi，yi)的残差)； ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 Q1 及 Q2，并通过比较 Q1，Q2 的大小，判断哪个模 型拟合效果更好。 (3)根据市场调查，生猪存栏数量达到 1 万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.5 元；生猪 存栏数量达到 1.2 万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.2 元。若按(2)中拟合效果较好的 模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择 1 万头还是 1.2 万头能获得更多利 润?请说明理由。(利润＝收入－成本) 参考公式：  1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ˆ, ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b y bx a x x x nx                   。 参考数据： 5 5 2 1 1 ( )( ) 5.3, ( ) 21.2i i i i i x x y y x x          。 20.(本小题满分 12 分) 已知 A(x0，0)，B(0，y0)两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且|AB|＝1，若动点 P(x，y)满足 2 3OP OA OB    。 (1)求出动点 P 的轨迹 C 的标准方程； (2)设动直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点，与圆 x2＋y2＝7 相交于两点 P1，P2(两点均不在 坐标轴上)，求直线 OP1、OP2 的斜率之积。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ 1 a x  ＋lnx(a∈R，a 为常数)。。 (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)在(e，＋∞)内有极值，试比较 ea－1 与 ae－1 的大小，并证明你的结论。 (二)选考题：共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记 分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 4 x t y t        (t 为参数)，曲线 C1 的方程为 x2＋(y－1)2＝1。以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线 l 和曲线 C1 的极坐标方程； (2)曲线 C2：θ＝α(ρ>0，0<α< 2  )分别交直线 l 和曲线 C1 于点 A，B，求 OB OA 的最大值及相应α 的值。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|3x－a|＋|3＋x|。 (1)若 a＝3，解不等式 f(x)≤6； (2)若不存在实数 x，使得 f(x)≤1－a－|6＋2x|，求实数 a 的取值范围。