福建省南平市2017届高三3月适应性检测数学（文）试题

福建省南平市2017届高三3月适应性检测数学（文）试题

‎2017年南平市普通高中毕业班适应性检测 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合，则 A． B． C． D． [来源:Zxxk.Com]‎ ‎2、已知为虚数单位，若复数满足，则 A．1 B． C． D．2‎ ‎3、“上医医国”出自《国语 晋语八》，比喻高贤能治理好国家，把这四个字分别写在四张卡片上，某幼童把这四张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A． B． C． D．‎ ‎4、“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充也不必要条件[来源:学。科。网]‎ ‎5、已知函数，实数满足，若实数 为方程的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是 A． B． C． D． ‎ ‎6、已知变量满足约束条件，则目标函数 ‎ 的取不到的值是 A．1 B．3 C．7 D．4‎ ‎7、执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为 A． B． C．0 D．‎ ‎8、已知函数，如果，且满足，，则 A．1 B． C． D．‎ ‎9、已知都是非负实数，且，则的最小值为 A． B． C．1 D．2‎ ‎10、已知函数，则关于的不等式 ‎ 的解集是 A． B． C． D．‎ ‎11、已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，为切点，若四边形面积的最小值是2，则 的值是 A． B． C．2 D．‎ ‎12、已知函数与图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分，第13题—第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎13、设的内角所对边的长分别为，已知，则角的大小是 ‎ ‎14、若正项的等比数列，已知且，则 ‎ ‎15、某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的圆弧是半圆），‎ 则该几何体的体积为 ‎ ‎16、分别为双曲线的左右焦点，‎ 为坐标原点，若双曲线坐支上存在以点，使 且，则此双曲线的离心率为 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知正项数列的前n项和为，数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设数列满足，它的前n项和为，求证：对应任意正整数n，‎ 都有成立.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3期，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如右图所示.‎ ‎（1）求正整数的值；‎ ‎ （2）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第组得员工人数分别是多少？‎ ‎ （3）为了估计该单位员工的乐队习惯，对组中抽查的42人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎ 根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为单位员工“是否喜欢阅读国学书籍和性别有关系”？‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在多面体ABCDE中，平面平面，是等边三角形，‎ 四边形ABCD是直角梯形，M是EC的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎ （2）求三棱锥M-BDE的体积.‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 在直角坐标系中，设抛物线的焦点为F，准线为直线，点在直线上，点M为抛物线第一象限上的点，是边长为的等边三角形，直线MF的倾斜角为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎ （2）如图，直线过点F角抛物线于两点，，直线分别交抛物线E于 两点，设直线的斜率分别为，求值.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）试讨论函数的单调区间与极值；‎ ‎ （2）若且，设，且函数有两个零点，‎ 求实数 的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数）‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎ （2）曲线交轴于两点，且点的横坐标小于点 的横坐标， 为直线上的动点，求 ‎ 周长的最小值.‎ ‎23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲[来源:学+科+网]‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎ （2）若，求证.‎ ‎2017年南平市普通高中毕业班适应性检测 文科数学试题答案及评分参考 说明：‎ ‎1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一．选择题：每小题5分，满分60分.‎ ‎（1）B （2）A （3）D （4） D （5） C （6） C ‎（7）A （8）B （9）B （10）D （11）C （12）A 二．填空题：每小题5分，满分20分.‎ ‎（13） （14） （15） （16） ‎ 三、解答题：‎ ‎（17）（满分12分）‎ 解：（I）由可得：‎ 当时，由，且可得：……………1分 当时，…… ① [来源:学科网]‎ ‎ ……② ……………3分 由 ①-②得：，‎ 即：，……………4分 数列为正项数列， 所以 ……………5分 所以为以为首项，公差为1的等差数列， （）……6分 ‎（II）由可得： ……………7分 ‎ 由 （）……………9分 ‎ 可知：‎ ‎……………11分 ‎ 即：，[来源:Z。xx。k.Com]‎ 所以对任意正整数，都有成立……………12分 ‎（18）（满分12分）‎ 解：（Ⅰ）总人数：，‎ 第3组的频率是：‎ 所以 ……………3分 ‎（II）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有（人），‎ 利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组抽取的人数为（人），第2组抽取的人数为（人），‎ 第3组抽取的人数为（人），‎ 所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人.……………6分 ‎（III）假设：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，‎ 求得的观测值，……………10分 查表得，从而能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，‎ 认为该单位的员工“是否喜欢看国学类书籍和性别有关系” ……………12分 ‎（19）（满分12分）‎ 证明：（I）方法一：取BE的中点O，‎ 连接OA、 OM, ……………1分 因为O、M分别为线段BE、CE的中点,‎ 所以OM BC …………2分 又因为AD BC, 所以OM AD ………3分 所以四边形OMDA为平行四边形，‎ 所以DM∥AO，…………………4分 又因为AO面ABE， MD面ABE，所以DM∥平面ABE; ………6分 方法二：取BC的中点N，连接DN、 MN, ……………………………………1分 因为M 、N分别为线段CE、BC的中点,所以MNBE……………2分 又因为BM面ABE， MN面ABE，所以MN∥平面ABE，……3分 同理可证DN∥平面ABE，……………………………………………4分 MNDN=N，所以平面DMN∥平面ABE，…………………………5分 又因为DM面DMN，所以DM∥平面ABE………………………6分 ‎（II）方法一：接（1）的方法一 因为平面ABE底面ABCD=AB 又因为平面ABE⊥底面ABCD，AB⊥BC 且BC平面ABCD，‎ 所以BC⊥底面ABE，……………7分 OA平面ABE，所以BC⊥AO……………8分 又BE⊥AO，BCBE=B，[来源:学。科。网]‎ 所以AO⊥平面BCE……………9分 由（1）知,DM∥AO, ‎ 所以DM⊥平面BCE ……………10分 ‎……………12分 方法二：取AB的中点G，连接EG， ‎ 因为是等边三角形，所以EG⊥AB……………7分 又因为平面ABE底面ABCD=AB ‎ 又因为平面ABE⊥底面ABCD，且EG平面PAB，‎ 所以EG⊥底面ABCD，即EG为四棱锥P-ABCD的高……………8分 因为M是EC的中点，所以M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,‎ 所以计算三棱锥M-BDE的体积即计算三棱锥E-BDC体积减去三棱锥M-BDC的 体积……………10分 所以 即三棱锥M-BDE的体积为……………12分 ‎（20）（满分12分）‎ 解：(I) 方法一：‎ 作⊥于点，⊥于点………1分 因为=4，‎ ‎ ……………2分 所以, 所以 ……………3分 所以抛物线的方程…………4分 方法二：作⊥于点M，⊥于点 ……………1分 因为=4， ……………2分 所以, 所以 ， ‎ 所以点M的坐标……………3分 代入抛物线方程，得，[来源:Zxxk.Com]‎ 由得 ，‎ 所以抛物线的方程……………4分 ‎(II)设直线CD的方程为 ，，‎ ‎……………5分 联立 ‎ ‎，，……………6分 因为点C在抛物线：上，所以点C的坐标，‎ 所以，……………7分 所以直线CQ的方程为：，即，……8分 联立，解得 同理可得，,……10分 所以，‎ ‎……………11分 所以=2 ……………12分 ‎（21）（满分12分）‎ 解：（Ⅰ）（）…………………1分[来源:学科网ZXXK]‎ ① 当时，恒成立，函数单调递增，‎ 所以的增区间为，无极值；……………3分 ② 当时，时，，函数单调递减，时函数单调递增，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为……………5分 有极小值，无极大值…………………………………6分 ‎（Ⅱ）法一：由且，‎ 代入可得： （）‎ 所以: ……………………………………………7分 ‎,………………………………………………………………8分 当时，，所以函数在递增，‎ 当时，，所以函数在递减，‎ 有极大值………………………………………………10分 当时，，当时，，‎ 故函数有两个零点，需，………………………………11分 解得：,所以实数的取值范围为：……………12分 ‎（Ⅱ）法二：由且，代入 可得：（）‎ 所以: ………………7分 由 ，可得，即，‎ 函数有两个零点，即方程，在有两个解…………8分 设 ，………………9分 ① 当时，，在单调递增，不合题意，舍去.‎ ② 当时，由，得，由，得，‎ 所以在递增，在递减，……………………………10分 方程，在有两个解，‎ 只需：，即：，……………………………………11分 解得:‎ 所以实数的取值范围为：………………………………………12分 ‎（22）解： （Ⅰ）由直线的极坐标方程，‎ 得…………………………………………2分 即 直线的直角坐标方程为即…………………………3分 ‎ 由曲线的参数方程得的普通方程为：…………………5分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知曲线表示圆心，半径的圆 令得 ‎ …………………………………………7分 ‎ 作关于直线的对称点得………………………………………8分 由题易知当为与的交点时周长的最小 即：……………………………10分 ‎（23）（I）解：（Ⅰ）可化为：………………1分 即或或………………3分 解得，所以不等式的解集为或…………………5分[来源:学*科*网]‎ 证明：（Ⅱ）………………………6分 令,‎ 则是上的增函数, ………………8分 因此, ,故………………10分