- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
湖南省长沙市雅礼书院中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题
数学试题 （时间：120 分钟总分：150 分） 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选择项中,只 有一项是符合题目要求的.请将选择题答案填入答题栏内) 1.下列对应是 A 到 B 上的映射的是（ ） A. B. C. D. 的平方根 【答案】B 【解析】 【分析】 根据映射的定义，判断出选项 B 对应为映射 【详解】选项 A， ，不符合映射定义； 选项 B,任取一个 是唯一确定的值，等于 1 或者-1， 均为集合 B 的元素，故正确； 选项 C， 按照对应法则在 B 中不存在元素与之对应， 故不正确； 选项 D，集合 A 中的元素按照对应法则在集合 B 中存在两个 元素与之对应，故不正确. 故选:B 【点睛】本题考查映射的定义，属于基础题. 2.已知全集 ， ， ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求 ，接着按照交集的定义，即可求得结果. * *, , : | 3|A N B N f x x= = → − *, { 1,1, 2}, : ( 1)xA N B f x= = − − → − 3, , :A Z B Q f x x = = → *, , :A N B R f x x= = → 3 ,| 3 3| 0A B∈ − = ∉ ,( 1)aa A∈ − 0 ,A∈ {1,2,3,4,5,6}U = {1,2,3}A = {2,3,4}B = ( )UA C B∩ {2,3} {5,6} {1} {1,2,3,4} UC B 【详解】 ， ， ， . 选项:C 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 3.函数 + 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 按照函数有意义限制的条件，即可求出答案. 【详解】函数有意义须， ，解得 且 ， 故选:B 【点睛】本题考查求函数的定义域，属于基础题. 4.下列四个函数中，与 表示同一函数的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 函数 与 不同，所以函数 与 不是同一函数；函数 与 不同，所以函数 与 不是同一函数；函数 与 不同，所以函数 与 不是同一函数；函数 与 定义 域、值域、对应关系都相同，函数 与 表示同一函数，故选 C. 【方法点睛】本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则， 属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经 常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是 【 {1,2,3,4,5,6}U = {2,3,4}B = {1,5,6}UC B = ( ) {1}UA C B∴ ∩ = 3 2y x= − 0( 1)x + 3( , )2 −∞ 3( , 1) ( 1, ]2 −∞ − ∪ − 3( , ]2 −∞ 3( , )2 +∞ 3 2 0 1 0 x x − ≥ + ≠ 3 2x≤ 1x ≠ − y x= ( )2 y x= 2y x= 3 3y x= 2xy x = ( )2 y x= y x= 定义域 ( )2 y x= y x= 2xy x = y x= 定义域 2xy x = y x= 2y x= y x= 值域 2y x= y x= 3 3y x x= = y x= 3 3y x x= = y x= 否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数. 5.设 是奇函数，则 值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义，可求出 的值. 【详解】 是奇函数,所以任取 ， 恒成立， 即 . 故选:A 【点睛】本题考查奇函数的定义，属于基础题. 6.已知函数 则 f(2)=（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分段函数自变量的限制条件，代入即可. 【详解】函数 所以 . 故选:C 【点睛】本题考查求分段函数的函数值，属于基础题. 7.下列函数中，在区间 上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 的3( )f x x a= + a a 3( )f x x a= + x∈R ( ) ( )f x f x− = − 3 3 , 0x a x a a− + = − − ∴ = ( ) 1, 1 ,3, 1 x xf x x x + ≤= − + > ( ) 1, 1 ,3, 1 x xf x x x + ≤= − + > ( )2 1f = (0,1) y x= 3y x= − 1y x = 2 4y x= − + 【解析】 【详解】解析: A 项，因为 ，显然 在 上是增函数，故 A 项正确 B 项，在 上为减函数，故 B 项不正确； C 项，在区间 和 上为减函数，故 C 项不正确； D 项，在 上为减函数，故 D 项不正确, 故选 A. 8.函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出被开方数 的范围，即可求出函数的值域. 【详解】 , . 故选:B 【点睛】本题考查函数的值域，属于基础题. 9.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ,那么 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：因为 是定义在 上的奇函数，所以 . 考点：奇函数的定义 . 10.若函数 是定义在 R 上的减函数，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. , 0 0 x xy x x x ≥= = − < ， y x= (0, )+∞ 2( ) 1f x x= + [0, )+∞ [1, )+∞ (0, )+∞ (1, )+∞ 2 1x + 2 1 1x + ≥ 2( ) 1 1f x x∴ = + ≥ ( )f x R 0x > ( ) 2 3xf x = − ( 2)f − 1− 11 4 1 11 4 − ( )f x R 2( 2) (2) (2 3) 1f f− = − = − − = − ( ) ( )f x f x− = − (3 1) 4 , 1( ) { , 1 a x a xf x ax x − + <= − ≥ a 1 1 8 3 ， 1 1 8 3 ， 1(0 )3 ， 1, 3 −∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分段函数各段为减函数且在结合点处也递减列不等式组，解得 取值范围. 【详解】因为 是定义在 R 上的减函数，所以 .选 B. 【点睛】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 11.若函数 同时满足: ①对于定义域上的任意 ,恒有 ； ②对于定义域上的任意 ,当 时,恒有 ； 则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1） （2） （3） ，其中能被称为“理想函数”的有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 满足① 为奇函数，满足② 在定义域内是减函数，对（1）（2）（3）中的三个函数逐 个判断，即可得结果. 【详解】对于①对于定义域上的任意 ,恒有 ； 则有 ，故满足条件① 为奇函数； 对于②对于定义域上的任意 ,当 时， 不妨设 ，恒有 ， 的a ( )f x 1 3 1 0 3 1 1{ 0 { 0 8 33 1 4 1 8 aa a a a a a a a <− < − < ∴ > ∴ ≤ < − + ≥ − ≥ ( )f x x ( ) ( ) 0f x f x+ − = 1 2,x x 1 2x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − <− 1( )f x x = 2( )f x x= 2 2 , 0( ) , 0 x xf x x x − ≥= < ( )f x ( )f x x ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x 1 2,x x 1 2x x≠ 1 2x x> 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − <− ， 故满足②条件的函数 是在定义域内是减函数； 所以“理想函数”即为定义域内是减函数且为奇函数. （1） ，在定义域不是减函数，故不是； （2） 不是奇函数，故不是； （3） ， ，所以为奇函数， 作出其图像，函数在定义域内是减函数，故为“理想函数”. 故选:A 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解 题的关键，属于中档题. 12.设 是定义在 R 上的奇函数, ,当 时, 是增函数,且对任意的 ,都有 ,则函数 在 上的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. -3 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得 在 上是增函数，故 在 上的最大值是 ，当 时, 是增函数,且对任意的 ,都有 ,求出 ，再根据 是定义在 R 上的奇函数，即可求出答案. 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0f x f xf x f x x xx x −− = × − <− ( )f x 1( )f x x = 2( )f x x= 2 2 , 0( ) , 0 x xf x x x x x − ≥= = − < ( ) | | | | ( )f x x x x x f x− = − = = − ( )f x (1) 2f = 0x > ( )f x ,x y R∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ( )f x [ 3, 2]− − ( )f x [ 3, 2]− − ( )f x [ 3, 2]− − ( 2)f − 0x > ( )f x ,x y R∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (2)f ( )f x 【详解】 是定义在 R 上的奇函数,当 时, 是增函数, 故 在 上是增函数， 在 上的最大值是 当 时,对任意的 , 都有 ， 是定义在 R 上的奇函数, . 故选:D 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题. 二．填空题:（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，请将选择题答案填入答题栏内） 13.已知 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a＝________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，令 2x﹣5=6，求出 x 的值，再计算对应 a 的值． 【详解】∵f（ x﹣1）=2x﹣5，且 f（a）=6， ∴令 2x﹣5=6， 解得 x= ， ∴a= × ﹣1= ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目． 14.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为____________ .（用区间 作答） 【答案】 ( )f x 0x > ( )f x ( )f x [ 3, 2]− − ( )f x [ 3, 2]− − ( 2)f − 0x > ,x y R∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (2) (1) (1) 2 (1) 4f f f f= + = = ( )f x ( 2) (2) 4f f∴ − = − = − 1( 1)2f x − 7 4 1 2 11 2 1 2 11 2 7 4 7 4 ( )f x [ 2,4)− (2 4)f x − [1,4) 【解析】 【分析】 根据复合函数的关系， 中的自变量 的范围，与 中的 的范围一致，即 可求出答案. 【详解】函数 的定义域为 ， 函数 的定义域须满足， ， 所以函数 的定义域为 . 故答案为: 【点睛】本题考查复合函数的定义域，属于基础题. 15.如果函数 在区间 上是递增的，那么实数 的取值范围是 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线图像特征，须对称轴在区间 的左侧，即可求出结果 【详解】函数 的对称轴方程为 ， 在区间 上是递增的，故 . 故答案为: 【点睛】本题考查二次函数的单调性，属于基础题. 16.已知函数 是定义在 上的奇函数，给出下列命题： ① ， ②若 在 上有最小值-1，则 在 上有最大值 1， ③若 在 上为增函数，则 在 上为减函数， ④若 时， ，则 时， . ( )f x x (2 4)f x − 2 4x − ( )f x [ 2,4)− (2 4)f x − 2 2 4 4, 1 4x x− ≤ − < ∴ ≤ < (2 4)f x − [1,4) [1,4) 2( ) 2 2f x x ax= − + [ )4,+∞ a 4a ≤ [ )4,+∞ 2( ) 2 2f x x ax= − + x a= ( )f x [ )4,+∞ 4a ≤ 4a ≤ ( )f x R ( )0 0f = ( )f x [ )0,+∞ ( )f x ( ],0−∞ ( )f x [ )1,+∞ ( )f x ( ], 1−∞ − 0x > ( ) 2 2f x x x= − 0x < ( ) 2 2f x x x= − − 其中正确的序号是： ________________． 【答案】①②④ 【解析】 定义在 上的奇函数，有 ，①正确； 在 上有最小值-1，由奇函数图象 关于原点对称知， 在 上有最大值，②正确；若 在 上为增函数，由 奇函数图象关于原点对称知， 在 上也为增函数；③错误；若 ，则 ， ， 函 数 为 奇 函 数 ， 则 ，④正确．故本题应填①②④． 点睛：本题主要考查函数的奇偶性,单调性.奇,偶函数首先要满足定义域关于原点对称,否则 为非奇非偶函数,其次,若满足 , , 中的一条, 则函数为奇函数,或满足 , , 中的一条,则函数为 偶函数.求函数的单调性或单调区间一定要先确定定义域,然后根据所给函数的结构特征及要 求选择合适的方法求解.最后结果一定要写成区间的形式,当同增(减)区间不连续时不能用并 集符号连接.特别是对于奇函数，图象关于原点对称，对于偶函数，图象关于 轴对称． 三、解答题:（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.设 ， ． （1）求 的值及集合 、 ； （2）设全集 ，求 的所有子集． 【答案】: （1） , ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件，2 是 两方程的根，代入求出 ，即可 求出集合 、 ，并验证 是否成立； （2）先求出 ，即可求出所有子集. R ( )0 0f = ( )f x [ )0,+∞ ( )f x ( ],0−∞ ( )f x [ )1,+∞ ( )f x ( ], 1−∞ − 0x < 0x− > ( ) ( ) ( )2 22 2f x x x x x− = − − − = + ( ) ( ) 2 2f x f x x x= − = − − ( ) ( )f x f x− = − ( )( ) 0f x f x+ − = ( ) ( ) 1f x f x − = − ( ) ( )f x f x− = ( )( ) 0f x f x− − = ( ) ( ) 1f x f x − = y { }2 22 0}, { 3 0A x x ax B x x x b= + + = = + + = {2}A B = a b， A B U A B= ∪ ( ) ( )U UC A C B 3, 10a b= − = − {1,2}, { 5,2}A B= = − ,{ 5},{1}{ 5,1}∅ − − 2 22 0, 3 0x ax x x b+ + = + + = a b， A B {2}A B = ( ) ( )U UC A C B 【详解】 ，2 是 两方程的解，代入方程解得 ，此时 并且 满足条件， 故 ， ； （2） ， ， 所有的子集有: . 【点睛】本题考查了集合间的交、并、补的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题的关键， 属于中档题. 18.已知函数 ． （ ）用定义证明 在 上是增函数． （ ）若 在区间 上取得最大值为 ，求实数 的值． 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 试题分析:(1)用定义法证明函数为增函数;(2)由第一问的单调性可得,在 x=4 处取到最大值, 代入即可. 试题解析: （ ）设任意 ， ，且 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， {2}A B = 2 22 0, 3 0x ax x x b+ + = + + = 3, 10a b= − = − { }{ } { }2 23 2 0} 1,2 , { 3 10 0 5,2A x x x B x x x= − + = = = + − = = − {2}A B = 3, 10a b= − = − {1,2}, { 5,2}A B= = − { 5,1,2}, { 5}, {1}U UU A B C A C B= = − = − = ( ) ( ) { 5,1}U UC A C B = − ,{ 5},{1}{ 5,1}∅ − − 1 1( ) ( 0, 0)f x a xa x = − > > 1 ( )f x (0, )+∞ 2 ( )f x 1 ,42 5 a 4 21a = 1 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x xf x f x x x −− = ⋅ 1 20 x x< < 1 2 0x x− < 1 2 0x x⋅ > ( ) ( )1 2 0f x f x− < 即 ， 故 在 上是增函数． （ ） 在区间 上是增函数， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 点睛: 证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取 ，并且 （或 ）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为 止）；（3）定号：判断 的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4） 下结论：根据定义得出其单调性. 19.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x≤0 时， f(x)＝－x＋1 (1)求 f(0)，f(2)； (2)求函数 f(x) 解析式； (3)若 f(a－1)<3，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）3； （2） ； （3）(-1，3). 【解析】 【分析】 (1 )将 代入解析式可得 ，利用函数奇偶性的性质即可求 的值； (2)令 ，则 ，求得 ，根据函数奇偶性的性质即可求函数 )的 解析式；(3)由 ，根据函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为 ，利用绝对值不等式的解法可求实数 的取值范围. 【详解】(1)因 当 x≤0 时，f(x)＝－x＋1 所以 f(0)＝1. 又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(2)＝f(－2)＝—(－2)＋1＝3，即 f(2)＝3. 的 为 ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x ( )0,+∞ 2 ( ) 1 1f x a x = − 1 ,42 ( ) ( )max4 5f f x= = ( ) 1 14 54f a = − = 4 21a = 1 2,x x 1 2x x> 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x− 1 2( ) ( )f x f x− 1, 0( ) 1, 0 x xf x x x − + ≤= + > 0, 2x x= = − ( ) ( )0 , 2f f − ( )2f 0x > 0x− < ( ) 1f x x− = + ( )f x ( ) ( )1 3 2f a f− < = 1 2a − < a (2)令 x>0，则－x<0， 从而 f(－x)＝x＋1＝f(x)， ∴x>0 时，f(x)＝x＋1 ∴函数 f(x)的解析式为 , (3)由函数图像可得 ∴f(x)＝－x＋1 在(－∞，0]上为减函数． 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数， ∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数． ∵f(a－1)<3＝f(2)，∴|a－1|<2，解得-1查看更多