高考数学专题复习练习第2讲 圆的方程
第2讲 圆的方程
一、选择题
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为：(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为：x2＋y2＝2.
答案 A
2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，所以原点在圆外．
答案 B
3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有
解得对称圆的半径不变，为1.
答案 B
4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( )．
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
解析 因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4 时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.
答案 A
5．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 ( )．
A．8 B．－4 C．6 D．无法确定
解析 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
6．圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足·＝0，则圆C的方程为 ( )．
A.2＋(y－3)2＝ B.2＋(y＋3)2＝
C.2＋(y－3)2＝ D.2＋(y＋3)2＝
解析 法一 ∵圆心为C，
∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由圆方程与直线l的方程联立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.
由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：
x1x2－(x1＋x2)＋＝＋＝0，
解得r2＝，经检验满足判别式Δ>0.
故圆C的方程为2＋(y－3)2＝.
法二 ∵圆心为C，
∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2，
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2＋(y－3)2＝，故选C.
答案 C
二、填空题
7．过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．
解析 设圆心坐标为(a，b)，圆半径为r，则圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圆心在直线x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0，①
又∵圆过两点A(0,4)，B(4,6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2，②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2，③
由①②③得：a＝4，b＝1，r＝5，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.
答案 (x－4)2＋(y－1)2＝25
8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．
解析 设P(x0，y0)，则|PA|2＋|PB|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2，
显然x＋y的最大值为(5＋1)2，
∴dmax＝74，此时＝－6，结合点P在圆上，解得点P的坐标为.
答案
9．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．
解析 设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.
答案 74 34
三、解答题
11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解 (1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，
∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40， ②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
13．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解 (1)设圆心C(a，b)，则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
∴·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值为－4.
14．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，
由直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
