【数学】2018届一轮复习北师大版第06讲函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法学案

【数学】2018届一轮复习北师大版第06讲函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法学案

‎【知识要点】‎ 一、判断函数单调性的方法 判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 ‎1、定义法 ‎ 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.‎ ‎2、复合函数分析法 设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减” 确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：‎ 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 ‎3、导数判断法 设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）.‎ ‎4、图像法 ‎ ‎ 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.‎ 二、证明函数的单调性的方法 证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用 判断函数的单调性，但是不能用 证明.‎ 三、求函数的单调区间 求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 ‎1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少. ‎ ‎2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.‎ ‎3、导数法:先求函数的定义域，然后求导，再解不等式 ,分别和求交集，得函数的递增（减）区间 . ‎ ‎4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.‎ 四、一些重要的有用的结论 ‎ 1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数、和；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数.‎ ‎ 2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数.‎ ‎ 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”.‎ ‎ 4、单调区间必须用区间 表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.‎ ‎ 5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数的增区间为.不要写成.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 定义法 使用情景 一般适用于结构较简单的函数.‎ 解题步骤 ‎①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断 的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.‎ ‎【例1】证明函数在区间是增函数.‎ ‎【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断的符号时，没有利用到，且，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定符号. 学. . ‎ ‎【反馈检测1】讨论函数在上的单调性.‎ ‎【例2】已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有 ‎，且当时，.‎ ‎（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的 方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断的符号时，难度要大一些，主要是充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对的变形，要充分利用已知条件“，且当时”，所以可以这样拆，‎ ‎.（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答，即根据解题的需要，给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.‎ ‎【反馈检测2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.（1）解不等式（2）若对所有 恒成立，求实数的取值范围.‎ 方法二 导数法 使用情景 一般使用于结构较复杂的函数.‎ 解题步骤 先求函数的定义域，再求导，再判断的符号，最后下结论.‎ ‎【例3】已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设.如果对任意，，求的取值范围.‎ ‎（2）不妨假设，而＜-1，由（1）知在（0，+∞）单调减少，从而 ‎，‎ 等价于 ， ①‎ 令，则 ‎①等价于在（0，+∞）单调减少，即.‎ ‎ 从而 ‎ 故的取值范围为. ‎ ‎【点评】（1）函数的问 题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导数求函数的定义域也必须先考虑函数的定义域.（2）对于参数的问题注意分类讨论和分离参数,第1问利用了分类讨论的数学思想，第2问利用了分离参数的方法. 分类讨论和分离参数是处理参数问题很常用的两种重要方法. ‎ ‎【反馈检测3】已知函数.‎ ‎(1)当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.‎ ‎【例4】 设函数，，求函数的单调区间与极值.‎ ‎【点评】对于三角函数，也可以利用求导的方法求函数的单调区间和极值，它们的方法是一样的.‎ ‎【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知, ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为．‎ ‎（1）按下列要求写出函数关系式：‎ ‎①设，将表示成的函数关系式；‎ ‎②设() ，将表示成的函数关系式．‎ ‎（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．‎ ‎【反馈检测5】函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 方法三 复合函数分析法 使用情景 较简单的复合函数.‎ 解题步骤 先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.‎ ‎【例5】【2017课标II，文8】函数 的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【点评】（1）函数的问题，不管是具体函数，还是抽象的函数，都要注意“定义域优先”的原则.所以求函数的单调区间，首先必须求函数的定义域. （2）分解函数时，要把函数分解成一些初等函数,才能比较熟练地写出这些内层函数的单调性.‎ ‎【反馈检测7】 已知函数 ，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.‎ ‎(1)求；(2)若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原 的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递减区间．‎ 方法四 图像法 使用情景 函数的图像比较容易画出.‎ 解题步骤 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.‎ ‎【例6】求函数的单调区间.‎ ‎【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“”连接，一般用“，”隔开.‎ ‎【反馈检测8】 已知函数 ‎（1）求函数的解析式；（2）若=2，求的值；‎ ‎（3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.‎ ‎ ‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第06讲：‎ 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案 ‎【反馈检测1答案】当时，原函数是增函数；当时，原函数是减函数.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）；（2）‎ ‎【反馈检测2详细解析】‎ ‎【反馈检测3答案】（1）当时，函数在单调递减，单调递增；当时，恒成立，此时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减. （2）.‎ ‎【反馈检测3详细解析】(1)，‎ 所以.‎ 令 ‎（1）当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.‎ ‎（2）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，‎ 有，又已知存在，使，所以，，（※）‎ 又 当时，与（※）矛盾；‎ 当时，也与（※）矛盾；‎ 当时，.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【反馈检测4答案】(1) ；.‎ ‎(2) 点 位于线段 的中垂线上，且距离 边km处.‎ ‎（2）选择函数模型①，‎ 令0 得sin ，因为，所以=，‎ 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，.这时点位于线段 的中垂线上，且距离边处.‎ ‎【反馈检测5答案】C ‎【反馈检测5详细解析】设 ‎∴在定义域上单调递增，不等式即，‎ 即，选C.‎ ‎【反馈检测6答案】C ‎【反馈检测7答案】（1）；（2）函数取得最大值，，为函数的单调递减区间．‎ ‎【反馈检测7详细解析】(1)‎ ‎，将代入可得.‎ ‎(2)由(1)得.经过题设的变化得到的函数 当时，函数取得最大值.令，‎ 即]，为函数的单调递减区间．‎ ‎【反馈检测8答案】（1）； （2）或；‎ ‎（3）函数的单调减区间为单调增区间为.‎ ‎【反馈检测8详细解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以函数的单调减区间为单调增区间为