【数学】2020届一轮复习北师大版综合法与分析法、反证法学案

【数学】2020届一轮复习北师大版综合法与分析法、反证法学案

第五节　综合法与分析法、反证法 ‎[考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．‎ ‎1．综合法 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．‎ ‎2．分析法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．‎ ‎3．反证法 ‎(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．‎ ‎(2)反证法的证明步骤是：‎ ‎①作出否定结论的假设；‎ ‎②进行推理，导出矛盾；‎ ‎③否定假设，肯定结论．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件． (　　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件． (　　)‎ ‎(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾． (　　)‎ ‎(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0 ，只要证明(　　)‎ A．2ab－1－a2b2≤0‎ B．a2＋b2－1－≤0‎ C．－1－a2b2≤0‎ D．(a2－1)(b2－1)≥0‎ D　[a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.]‎ ‎3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A．]‎ ‎4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是________．‎ >　[∵－＝>0，∴>.]‎ ‎5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．‎ 等边　[由题意2B＝A＋C，‎ 又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ ‎∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，‎ ‎∴A＝C，∴A＝B＝C＝，‎ ‎∴△ABC为等边三角形．]‎ 综合法 ‎1．已知m＞1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)‎ A．a＞b　　　　 B．a＜b C．a＝b D．a，b大小不定 B　[∵a＝－＝，‎ b＝－＝.‎ 而＋＞＋＞0(m＞1)，‎ ‎∴＜，‎ 即a＜b.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝－(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于点对称；‎ ‎(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．‎ ‎[证明]　(1)函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．‎ 由已知y＝－，‎ 则－1－y＝－1＋＝－，‎ f(1－x)＝－＝－ ‎＝－＝－，‎ ‎∴－1－y＝f(1－x)，‎ 即函数y＝f(x)的图像关于点对称．‎ ‎(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝－1.‎ ‎∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，‎ f(0)＋f(1)＝－1.‎ 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.‎ ‎[规律方法]　综合法证题的思路 分析法 ‎1．若a，b∈(1，＋∞)，证明＜.‎ ‎[证明]　要证＜，‎ 只需证()2＜()2，‎ 只需证a＋b－1－ab＜0，‎ 即证(a－1)(1－b)＜0.‎ 因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，‎ 即(a－1)(1－b)＜0成立，‎ 所以原不等式成立．‎ ‎2．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ ‎[证明]　要证＋＝，‎ 即证＋＝3，也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得，b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，‎ 故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ ‎[规律方法]　分析法的证题思路 ‎(1)分析法的证题思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ 反证法 ‎►考法1　证明否定性命题 ‎【例1】　设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎[解]　(1)设{an}的前n项和为Sn.‎ 则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，‎ 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn＝a1(1－qn)，‎ 当q≠1时，Sn＝，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1，‎ 所以Sn＝ ‎(2)证明：假设数列{an＋1}是等比数列，‎ 则(a1＋1)(a3＋1)＝(a2＋1)2，‎ 即a1a3＋a1＋a3＋1＝a＋2a2＋1，‎ 因为{an}是等比数列，公比为q，‎ 所以a1a3＝a，a2＝a1q，a3＝a1q2，‎ 所以a1(1＋q2)＝2a1q.‎ 即q2－2q＋1＝0，(q－1)2＝0，q＝1，‎ 这与已知q≠1矛盾，‎ 所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎►考法2　证明“至多”“至少”命题 ‎【例2】　已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．‎ ‎[证明]　假设三个方程都没有两个相异实根．‎ 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，‎ Δ3＝4a2－4bc≤0，‎ 上述三个式子相加得：‎ a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，‎ 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.‎ 所以a＝b＝c这与a，b，c是互不相等的实数相矛盾．‎ 因此假设不成立，故三个方程ax2＋2bx＋c＝0，‎ bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．‎ ‎[规律方法]　用反证法证明数学命题需把握的三点 ‎(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；‎ ‎(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；‎ ‎(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．‎ ‎ 设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，‎ 则由a2＋a<2及a>0，得0

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