- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版几何概型学案
第5讲 几何概型 ) 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的概率公式 P(A)= 辨明两个易误点 (1)几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果. (2)易混淆几何概型与古典概型,两者共同点是基本事件的发生是等可能的,不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的. 1.在区间上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( ) A. B. C. D. B 在区间上随机选取一个数X,则X≤1,即-2≤X≤1的概率为P=. 2.(2016·高考全国卷乙)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A. B. C. D. B 由题意得图: 由图得等车时间不超过10分钟的概率为. 3.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A. B. C. D. C 由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P==. 4.(2017·江西省八所中学联考)已知实数a∈,则 a∈{x∈R|x2-2x-3≤0}的概率为________. x2-2x-3≤0⇒-1≤x≤3,故所求概率为P==. 5. 如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为________. 设圆的半径为R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角边长为R, 则所求事件的概率为 P===. 与长度(角度)有关的几何概型 (1)(2015·高考重庆卷)在区间上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________. (2)(2016·高考山东卷)在上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________. (3)如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1的概率为________. 【解析】 (1)因为方程x2+2px+3p-2=0有两个负根, 所以 解得8.所以P==.
2.如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为________.
如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,则OA落在∠yOT内的概率为=.
3.(2017·昆明三 中、玉溪一中统考)设a∈,则函数g(x)=在区间(0,+∞)内为增函数的概率为________.
因为函数g(x)=在区间(0,+∞)内为增函数,
所以a-2<0,解得a<2,
所以函数g(x)=在区间(0,+∞)内为增函数的概率为=.
与面积有关的几何概型(高频考点)
与面积有关的几何概型是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度较小,多为容易题或中档题.
高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下三个命题角度:
(1)与平面图形面积有关的几何概型;
(2)与线性规划知识交汇命题的几何概型;
(3)与定积分交汇命题的几何概型.
(1)(2017·湖北华师附中联考)在区间上随机取两个实数x,y,使得x+2y≤8的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2016·高考全国卷甲)从区间随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)(x,y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部,其中满足x+2y≤8的区域为如图所示的阴影部分,易知A(4,2),所以P==.选D.
(2)设由构成的正方形的面积为S,x+y<1构成的图形的面积为S′,
所以==,
所以π=,故选C.
【答案】 (1)D (2)C
与面积有关的几何概型的求法
求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的区域以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.
角度一 与平面图形面积有关的几何概型
1.已知菱形ABCD的边长为4,∠ABC=150°,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )
A. B.1-
C. D.1-
D 由题设菱形ABCD的边长为4,∠ABC=150°,知菱形的面积S菱形ABCD=2××AB×BC×sin 150°=4×4×=8,
设事件M为“该点到菱形的四个顶点的距离大于1”,则事件M对应的区域是菱形内部且在以顶点为圆心,半径为1的圆外的部分,如图所示,根据几何概型的概率计算公式得P(M)==1-.
角度二 与线性规划知识交汇命题的几何概型
2.(2017·郑州市第一次质量预测)若不等式x2+y2≤2所表示的平面区域为M,不等式组表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为________.
作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示,平面区域N的面积为×3×(6+2)=12,区域M在区域N内的面积为π()2=,故所求概率P==.
角度三 与定积分交汇命题的几何概型
3.(2017·辽宁大连模拟)在区间上随机地取两个数x,y,则事件“y≤sin x”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
D 在区间上随机地取两个数x,y构成的区域的面积为π2,事件“y≤sin x”
发生的区域的面积为sin xdx=-cos x|=2,所以所求概率为,故选D.
与体积有关的几何概型
一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔,则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为VFAMCD=×S四边形AMCD×DF=a3,VADFBCE=a3,所以它飞入几何体FAMCD内的概率为=.
【答案】 D
与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解.
在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B.1-
C. D.1-
B 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,
以1为半径的半球外.
记“点P到点O的距离大于1”为事件M,
则P(M)==1-.
)
——混淆长度型与面积型几何概型致误
(2017·黑龙江实验中学期末)已知线段AB的长为10,在线段AB上随机取两个点C、D,则CD>2的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设CA=x,DA=y,则x,y∈,
CD=|CA-DA|=|x-y|.
由题意知点(x,y)形成的区域是边长为10的正方形及其内部,其面积为S=10×10,而满足CD>2的区域如图中阴影部分所示,其面积为S1=2××8×8=64,则CD>2的概率为P==.
【答案】 D
解决几何概型问题的易误点
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型,导致错误.
(2)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否具有等可能性,导致错误.
(3)本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式,误以为该题的几何概型是用线段的长度来度量的.
在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M,求AM