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文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版2-3 函数的奇偶性与周期性学案
§2.3 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 考情考向分析 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识,题型以选择、填空题为主,中等偏上难度. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 知识拓展 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × ) (2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ ) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ ) (5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ ) 题组二 教材改编 2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=________. 答案 -2 解析 f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-2. 3.[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=______. 答案 1 解析 f=f=-4×2+2=1. 4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为________. 答案 (-2,0)∪(2,5] 解析 由图象可知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,∴ 当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<-2时,f(x)>0. 综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5]. 题组三 易错自纠 5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( ) A.- B. C.- D. 答案 B 解析 依题意得f(-x)=f(x),∴b=0,又a-1=-2a, ∴a=,∴a+b=,故选B. 6.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________. 答案 3 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1). 又f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(1)=f(3).∴f(-1)=3. 题型一 判断函数的奇偶性 典例 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)= 解 (1)由得x2=3,解得x=±, 即函数f(x)的定义域为{-,}, ∴f(x)=+=0. ∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称. ∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=. 又∵f(-x)===-f(x), ∴函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x<0时,-x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x); 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x), ∴函数f(x)为奇函数. 思维升华 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 跟踪训练 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x 答案 D 解析 对于A,f(-x)=-x+sin 2(-x) =-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数; 对于B,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数; 对于C,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数; 对于D,y=x2+sin x既不是偶函数也不是奇函数. (2)函数f(x)=lg|sin x|是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数 答案 C 解析 易知函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,又f(-x)=lg|sin(-x)|=lg|-sin x|=lg|sin x|=f(x),所以f(x)是偶函数,又函数y=|sin x|的最小正周期为π,所以函数f(x)=lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数. 题型二 函数的周期性及其应用 1.若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f= ________. 答案 解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数, 所以f+f=f+f =f+f=-f-f =-+sin =. 2.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________. 答案 6 解析 ∵f(x+4)=f(x-2), ∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x), ∴f(x)是周期为6的周期函数, ∴f(919)=f(153×6+1)=f(1). 又f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6. 3.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=________. 答案 339 解析 ∵f(x+6)=f(x),∴周期T=6. ∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)+f(2 016) =1×=336. 又f(2 017)=f(1)=1,f(2 018)=f(2)=2, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=339. 思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质. 对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 求函数值或函数解析式 典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=________. 答案 12 解析 方法一 令x>0,则-x<0. ∴f(-x)=-2x3+x2. ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=2x3-x2(x>0). ∴f(2)=2×23-22=12. 方法二 f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12. (2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则f(x)=________. 答案 解析 ∵当x>0时,-x<0, ∴f(x)=f(-x)=ex-1+x, ∴f(x)= 命题点2 求参数问题 典例 (1)设函数f(x)=为奇函数,则k=____. 答案 -2 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴=-, ∴(x+2)(x+k)=(2-x)(k-x), x2+2x+kx+2k=2k-kx-2x+x2,∴k=-2. (2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f =f,则a+3b的值为________. 答案 -10 解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数, 所以f=f且f(-1)=f(1), 故f=f, 从而=-a+1,即3a+2b=-2.① 由f(-1)=f(1),得-a+1=,即b=-2a.② 由①②得a=2,b=-4, 从而a+3b=-10. 命题点3 利用函数的性质解不等式 典例 (1)已知定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则( ) A.f(3)查看更多