【数学】2020届一轮复习北师大版算法与算法框图学案
第章 算法初步、统计与统计案例
第一节 算法与算法框图
[考纲传真] 1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
1．算法的含义
算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．
2．算法框图
在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．
其结构形式为
(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．
其结构形式为
(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．
其基本模式为
4．基本算法语句
任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．
5．赋值语句
(1)一般形式：变量＝表达式．
(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．
6．条件语句
(1)If—Then—Else语句的一般格式为：
(2)If—Then语句的一般格式是：
7．循环语句
(1)For语句的一般格式：
(2)Do Loop语句的一般格式：
1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)算法框图中的图形符号可以由个人来确定． ( )
(2)一个算法框图一定包含顺序结构，但不一定包含选择结构和循环结构． ( )
(3)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的． ( )
(4)在算法语句中，X＝X＋1是错误的． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．－ B． C．－ D．
D [按照程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin＝.]
3．(教材改编)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
A [f(－1)＝4×(－1)＝－4，f(2)＝22＝4，∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.]
4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．2
B．
C．
D．
C [开始：k＝0，s＝1；第一次循环：k＝1，s＝2；第二次循环：k＝2，s＝；第三次循环：k＝3，s＝，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为
.故选C．]
5．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
13 [当x＝1时，1＜2，则x＝1＋1＝2，当x＝2时，不满足x＜2，则y＝3×22＋1＝13.]
顺序结构与条件结构
1．(2019·长沙模拟)对于任意点P(a，b)，要求P关于直线y＝x的对称点Q，则程序框图中的①处应填入( )
A．b＝a
B．a＝m
C．m＝b
D．b＝m
D [因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称，所以通过赋值a赋值到m，b赋值给a，那么m赋值给b，完成a，b的交换，所以①处应该填写b＝m，故选D．]
2．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若x＝y，则这样的x的值有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C [当x≤2时，令y＝x2＝x⇒x(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1；当2
1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
D [因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．故选D．]
►考法3 辨析程序框图的功能
【例3】 如图所示的程序框图，该算法的功能是( )
A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值
B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值
C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值
D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]2＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值
C [初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；当第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C．]
[规律方法] 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．
(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．
易错警示：(1)注意区分当型循环和直到型循环．
(2)循环结构中要正确控制循环次数．
(3)要注意各个框的顺序．
(1)如图是计算1＋＋＋…＋的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是( )
A．n＝n＋2，i＞16
B．n＝n＋2，i≥16
C．n＝n＋1，i＞16
D．n＝n＋1，i≥16
(2)(2018·唐山模拟)根据下面的程序框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )
A．an＝2n
B．an＝2(n－1)
C．an＝2n
D．an＝2n－1
(1)A (2)C [(1)式子1＋＋＋…＋中所有项的分母构成首项为1，公差为2的等差数列．由31＝1＋(k－1)×2，得k＝16，即数列共有16项．
(2)由程序框图知，本题为求首项a1＝2，公比q＝2的等比数列的通项公式，即an＝2n.]
基本算法语句
【例3】 (2019·邢台模拟)执行如图所示的算法，若输出的结果是2，则输入的x＝________.
0和2 [根据条件语句可知算法的功能是求分段函数y＝的值．当x＜1时，令2x＋1＝2，解得x＝0；当x≥1时，令x2－x＝2，解得x＝2或－1(舍去)．]
[规律方法] 算法语句的三个步骤
解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行算法，解决问题．
[跟踪训练] (2019·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.
7 [i＝1，S＝1；S＝1＋2＝3，i＝1＋3＝4＜8；
S＝3＋2＝5，i＝4＋3＝7＜8；
S＝5＋2＝7，i＝7＋3＝10＞8.
退出循环，故输出S＝7.]
1．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1
B．i＝i＋2
C．i＝i＋3
D．i＝i＋4
B [由题意可将S变形为S＝1＋＋…＋－＋＋…＋，则由S＝N－T，得N＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋.据此，结合N＝N＋，T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B [当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；
当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；
当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；
当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；
当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；
当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环．
故选B.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如是图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7
B．12
C．17
D．34
C [输入x＝2，n＝2.第一次，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n；
第二次，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；
第三次，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x
B．y＝3x
C．y＝4x
D．y＝5x
C [输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋
y2≥36；运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C．]
