高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第二章　圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程

高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第二章　圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程

§ 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程 课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对 应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程． 1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离________的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫做抛物线的________，直线 l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程 (1)方程 y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程． (2)抛物线 y2 ＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向 _______． (3)抛物线 y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向 ________． (4)抛物线 x2 ＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向 ________． (5)抛物线 x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________． 一、选择题 1．抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a| 4 B.|a| 2 C．|a| D．－a 2 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线x2 4 －y2 2 ＝1 上，则抛物线方程 为( ) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝±8x 3．抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a>p 2)，则点 M 的横坐标是( ) A．a＋p 2 B．a－p 2 C．a＋p D．a－p 4．过点 M(2,4)作与抛物线 y2＝8x 只有一个公共点的直线 l 有( ) A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条 5．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 6．设抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，过点 M( 3，0)的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛 物线的准线相交于点 C，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF S△ACF 等于( ) A.4 5 B.2 3 C.4 7 D.1 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．抛物线 x2＋12y＝0 的准线方程是__________． 8．若动点 P 在 y＝2x2＋1 上，则点 P 与点 Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知抛物线 x2＝y＋1 上一定点 A(－1,0)和两动点 P，Q，当 PA⊥PQ 时，点 Q 的横坐 标的取值范围是______________． 三、解答题 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(－3，m)到焦点的距离 等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 11．求焦点在 x 轴上且截直线 2x－y＋1＝0 所得弦长为 15的抛物线的标准方程． 能力提升 12．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16 相切，则 p 的值为( ) A.1 2 B．1 C．2 D．4 13．已知抛物线 y2＝2px (p>0)上的一点 M 到定点 A 7 2 ，4 和焦点 F 的距离之和的最小值 等于 5，求抛物线的方程． 1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的 符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标 轴的负方向． 2．焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2＝2py 通常又可以写成 y＝ax2，这与以前学习的 二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 y＝ax2 来求其焦点和准线时， 必须先化成标准形式． §2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程 知识梳理 1．相等 焦点 准线 2．(1)标准 (2)(p 2 ，0) x＝－p 2 向右 (3)(－p 2 ，0) x＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y＝－p 2 向上 (5)(0，－p 2) y＝p 2 向下 作业设计 1．B [因为 y2＝ax，所以 p＝|a| 2 ，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a| 2 ，故选 B.] 2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x2 4 －y2 2 ＝1 的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物 线的方程为 y2＝8x 或 y2＝－8x.] 3．B [由抛物线的定义知：点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x＝－p 2 的距 离，所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a－p 2.] 4．C [容易发现点 M(2,4)在抛物线 y2＝8x 上，这样 l 过 M 点且与 x 轴平行时，或者 l 在 M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选 C.] 5．B [∵y2＝2px 的焦点坐标为(p 2 ，0)， ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y＝x－p 2 ，即 x＝y＋p 2 ，将其代入 y2＝2px 得 y2＝2py＋ p2，即 y2－2py－p2＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2p，∴y1＋y2 2 ＝p＝2，∴抛物线 的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1.] 6．A [如图所示，设过点 M( 3，0)的直线方程为 y＝k(x－ 3)，代入 y2＝2x 并整理， 得 k2x2－(2 3k2＋2)x＋3k2＝0， 则 x1＋x2＝2 3k2＋2 k2 . 因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2. 不妨设 x2＝2－1 2 ＝3 2 是方程的一个根， 可得 k2＝ 3 3 2 － 3 2 ， 所以 x1＝2. S△BCF S△ACF ＝ 1 2|BC|·d 1 2|AC|·d ＝|BC| |AC| ＝|BB′| |AA′| ＝ 2 2＋1 2 ＝4 5.] 7．y＝3 解析 抛物线 x2＋12y＝0，即 x2＝－12y，故其准线方程是 y＝3. 8．y＝4x2 9．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意知，设 P(x1，x21－1)，Q(x2，x22－1)， 即(－1－x1,1－x21)·(x2－x1，x22－x21)＝0， 也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x21)·(x22－x21)＝0. ∵x1≠x2，且 x1≠－1， ∴上式化简得 x2＝ 1 1－x1 －x1＝ 1 1－x1 ＋(1－x1)－1， 由基本不等式可得 x2≥1 或 x2≤－3. 10．解 设抛物线方程为 y2＝－2px (p>0)， 则焦点 F －p 2 ，0 ，由题意，得 m2＝6p， m2＋ 3－p 2 2＝5， 解得 p＝4， m＝2 6， 或 p＝4， m＝－2 6. 故所求的抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为 x＝2. 11．解 设所求抛物线方程为 y2＝ax (a≠0)．① 直线方程变形为 y＝2x＋1，② 设抛物线截直线所得弦为 AB. ②代入①，整理得 4x2＋(4－a)x＋1＝0， 则|AB|＝ 1＋22 a－4 4 2－4×1 4 ＝ 15. 解得 a＝12 或 a＝－4. ∴所求抛物线方程为 y2＝12x 或 y2＝－4x. 12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系． 方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x＝－p 2. ∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16， ∴3＋p 2 ＝4，∴p＝2. 方法二 作图可知，抛物线 y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16 相切于点(－1,0)， 所以－p 2 ＝－1，p＝2.] 13．解 (1)当点 A 在抛物线内部时，如图，42<2p·7 2 ，即 p>16 7 时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|. 当 A，M，A′共线时， (|MF|＋|MA|)min＝5，故p 2 ＋7 2 ＝5，∴p＝3 满足 p>16 7 ， ∴抛物线方程为 y2＝6x. (2)当点 A 在抛物线外部或在抛物线上时 42≥2p·7 2 ，即 0

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