黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

哈师大附中2017级高三学年上学期期中考试 数 学 试 题（理科）‎ 第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数为纯虚数，则实数为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若向量,则( )‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎3.等差数列的前项和为,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设为两个平面，则∥的充要条件是( )‎ A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线 C．内有两条相交直线与平行 D．，垂直于同一平面 ‎5.已知曲线在处的切线过点,则实数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数在的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.在各棱长均相等的四面体中，已知分别是是棱中点，则异面直线与所成角的余弦值（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎8.若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的一个对称中心为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ①如果，那么;②如果，那么;‎ ③如果，那么;④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10. 在中，，则三角形的形状是（ ）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 ‎11.数列的前项和为，已知，若，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）[来源:学#科#网]‎ ‎13.已知,则 .‎ ‎14.已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为 .‎ ‎15.已知则的最小值是 .m]‎ ‎16.在四棱锥中,底面,‎ ‎,若点为棱上一点,满足,则 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若均为正数，且，求的最小值. ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的周长为，面积为，求三角形三边长. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，为中点，为线段的中点.‎ ‎（1）若为中点，求证：面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，，设是数列的前项和，证明：.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，=135°，底面，，分别为的中点，点在线段上．[来源:学|科|网]‎ ‎（1）求证：面⊥面； ‎ ‎（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）当时，证明：对任意的，都有 ‎（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ 数学理参考答案 ‎ ‎ ‎17.（1）‎ ‎ ……5分 ‎（2）‎ 当且仅当时，的最小值 ……10分 ‎（注：“当且仅当时”不写，扣2分）‎ ‎18.（1）由正弦定理得，，[来源:Z。xx。k.Com]‎ 即，； ……6分 （2） 由余弦定理得，,‎ 解得 ……12分 ‎19.（1）取AA1中点N，连结C1N，ND，取C1N中点E，连结EF，AE，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB为平行四边形，∴AB//ND，AB=ND，∵NE=EC1，C1F=FD，∴，又∵∴四边形MAEF为平行四边形，∴MF//AE，∵面，AE面，面 ； ……5分 ‎（2）在平面A1B1C1上过A1作垂直于A1B1的直线为轴，分别以A1B1，A1A为轴，建系A1-，‎ ‎，，设平面FA1C1的法向量 ‎，，‎ 取， ……9分 平面A1B1C1的一个法向量， ‎ 设二面角的大小为， ……12分 ‎20.（1），当（当时也符合），‎ 所以 ……5分 ‎（2），‎ ‎ ……12分 ‎21.(1)∵面ABCD，EF面ABCD，∴EFAP 在中，AB=AC，，∴ABAC，‎ 又，∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB//EF，因此，ACEF APAC=C，AP面PAC，AC面PAC，∴EF面PAC 又EF面EMF，∴面⊥面. ……5分[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎（2）分别以AE，AD，AP为轴，建系A-‎ 设，‎ ‎，，设平面PBC的法向量，‎ ‎，，，‎ 平面ABCD的一个法向量，，，‎ ‎，‎ 直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，即 ‎，即 ‎， ……12分 ‎22．（1）当时，设，‎ ‎，设，，[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 所以在上是增函数，，所以在上是增函数，即，‎ 对任意的，都有 ……5分 ‎（2）若对任意的恒成立，……6分 ‎，（其中 增函数），‎ ‎①当时，，，‎ 在上，是增函数，符合题意，……8分 ‎②当时，存在唯一，此时 在上，；，‎ 设，，在上是增函数，‎ ‎，所以，‎ 在上，是增函数，解得 综合①②， ……12分