【数学】浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高二下学期期中考试试题

【数学】浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高二下学期期中考试试题

参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B 7.B 8. D 9. D 10. A ‎ 二、填空题 (本大题共7小题，多空题 每小题6分，单空题 每小题4分，共36分)‎ ‎11. 1 , 12. 3 13. ； 14. ‎ ‎15. ; 16. 17. ‎ 三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 解析：(I) ， ，故， ………4分 ‎ ，， ………6分 ‎（II）与的夹角为，，……8分 ‎，， ，，………13分 即. 故的值为. ……14分 ‎19. (本小题满分15分)‎ 解析：(I)， ………2分 ‎ ，由函数是偶函数得，…4分 ‎ 故 ，的值为和. …7分 ‎（II）, ，‎ ‎ 为的内角，. ………9分 由余弦定理 ，得。由，‎ 知。…13分 ‎. 于是的面积的最大值为.…15分 ‎20. (本小题满分15分)‎ 解析：(I) ， ，在原点处的切线方程为…3分 ‎（II）由已知，， ……5分， 可猜想 ………9分 下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当时，，结论成立．‎ ‎②假设当时结论成立，‎ 即，‎ 则当时，‎ 即结论成立．‎ 由①②可知，结论对恒成立． ………15分 ‎21. (本小题满分15分)‎ 解析：(I) 由题意得a＝1时，令 ,当时， ，‎ 解得；‎ 当时， ，解得. 故函数的零点为和1…4分 ‎(II) 其中, 由于 于是最大值在中取． ………6分 ‎ 当，即时，在上单调递减，‎ 故；‎ 当，即时，在上单调递增，上单调递减，故；‎ 当，即时，在上单调递减，上单调递增，‎ 故；因为，故。‎ 综上， ………11分 ‎(III)时 ，，故问题转化为在给定区间内恒成立．‎ 因，分两种情况讨论：‎ 当时，是方程的较小根，‎ 即时，；‎ 当时，是方程的较大根，‎ 即时，；‎ 综上 ………15分 ‎22. (本小题满分15分)‎ 解析(I)由题意知，的定义域为，‎ ② 当时，恒成立，在 上单调递增。 ‎ ‎②当 时，令 ，则 ，在上单调递增，在上单调递减。………4分 ‎ (II) 由（I）知当时显然不符合题意。‎ 当，即时，在上单调递减，又，所以在上恒成立，无零点，不符合题意．‎ 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，又,令， ‎ 设 ，则， （）在上递减 ‎ 故在上递减，因此，‎ 即 故在上无零点，在上有唯一零点．‎ 综上，满足条件的实数的取值范围是……10分 ‎(III)证明：由(II)得，且，由 要证，即证，即证 令，则，‎ 在上递增，，‎ ‎ 故，由此……15分