【数学】2018届一轮复习苏教版9-6双曲线教案（江苏专用）
9.6 双曲线
1.双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a
F1F2时，P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
1.(教材改编)若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________.
答案
解析 由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
2.若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是____________.
答案 (－∞，－2)∪(－1，＋∞)
解析 由题意知(2＋m)(m＋1)>0，
解得m>－1或m<－2.
3.(2016·无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么双曲线的离心率为________.
答案
解析 根据题意，设双曲线的方程为－＝1，则＝，所以＝ ＝，即双曲线的离心率为.
4.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________.
答案 2
解析 由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.
5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________.
答案
解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，
一条渐近线方程是y＝x，即x－2y＝0，
则顶点到渐近线的距离d＝＝.
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹方程
例1 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得MC1－AC1＝MA，MC2－BC2＝MB，
因为MA＝MB，
所以MC1－AC1＝MC2－BC2，
即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7).
解 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝＝.
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
命题点3 利用定义解决焦点三角形问题
例3 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义有PF1－PF2
＝PF2＝2a＝2，
∴PF1＝2PF2＝4，
则cos∠F1PF2＝＝＝.
引申探究
1.本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
所以PF1·PF2＝8，
所以＝PF1·PF2·sin 60°＝2.
2.本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a＝2，
由于·＝0，所以⊥，
所以在△F1PF2中，有PF＋PF＝F1F，
即PF＋PF＝16，
所以PF1·PF2＝4，
所以＝PF1·PF2＝2.
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系.
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.
(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为__________.
(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________________.
答案 (1)－2 (2)－y2＝1
解析 (1)由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值，
当A，P，F1三点共线时，取得最小值，
则AP＋AF1＝PF1＝＝，
∴AP＋AF2的最小值为AP＋AF1－2a＝－2.
(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型二 双曲线的几何性质
例4 (1)(2016·盐城三模)若圆x2＋y2＝r2过双曲线－＝1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为______.
(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________.
答案 (1)2 (2)
解析 (1)若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2＋y2＝r2上，则点A坐标为(，c)，此时r＝c.
又点A在渐近线上，所以c＝·，即＝，
所以e＝ ＝2.
(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，
直线OB的方程为y＝－x.
由得x2＝2p ·x，
∴x＝，y＝，∴A.
设抛物线C2的焦点为F，则F，
∴kAF＝.
∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，∴＝.
设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.
∴e＝.
思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
(2016·全国甲卷改编)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________.
答案
解析 离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.
题型三 直线与双曲线的综合问题
例5 (2016·苏州模拟)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围.
解 (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2有两个不同的交点，得
∴k2≠且k2<1. ①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得0，解得－m20)的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为____________.
答案 y＝±x
解析 由得x2－4x－5＝0，
解得x＝5或x＝－1.又a＝3，故c＝5，
所以b＝4，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5.已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是____________.
答案 (1,2)
解析 由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，
∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，
即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，
整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，
解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2).
6.(2016·浙江)设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是________.
答案 (2，8)
解析 如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而F1F2＝4，由对称性不妨设P在右支上，
设PF2＝m，
则PF1＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋＜m＜3，又PF1＋PF2＝2m＋2，
∴2＜2m＋2＜8.
7.(2016·南京三模)设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________.
答案
解析 不妨设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，设F(－c,0)，线段PF的中点为(0，b)，则P
(c,2b).由点P在双曲线上，得－4＝1，所以e＝.
8.设双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为____________.
答案 (，2)
解析 由双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，所以F1F2＝6，设P(x，y) (x>0，y>0)，因为△PF1F2的面积为6，所以F1F2·y＝×6×y＝6，解得y＝2，将y＝2代入－＝1得x＝.所以P(，2).
9.(2016·扬州一模)已知F1，F2分别是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为______.
答案 2
解析 由题意知渐近线y＝x与直线y＝－(x－c)交于点M，解得M(，).因为点M在圆x2＋y2＝c2上，所以＋＝c2，解得＝3，所以e＝ ＝＝2.
10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是______________.
答案
解析 由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0).
∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为________.
答案
解析 由定义，知PF1－PF2＝2a.
又PF1＝4PF2，∴PF1＝a，PF2＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
12.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O且所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使A1B1＝A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.
答案
解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30°且小于等于60°，即tan 30°<≤tan 60°，∴<≤3.又e2＝()2＝＝1＋，∴0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则有
两式作差，得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，所以＝1.
将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9，得a2＝4，b2＝5.
所以双曲线的标准方程是－＝1.
14.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，且b＝a.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3(x－1)2－y2＝3上；
(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解 (1)由已知，得c＝2，c2＝a2＋b2，b＝a，
∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意，得直线l：m(x－2)＋y＝0，
由
得(3－m2)x2＋4m2x－4m2－3＝0.
由Δ>0，得4m4＋(3－m2)(4m2＋3)>0，
12m2＋9－3m2>0，即m2＋1>0恒成立.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又∴
∴m2>3，∴m∈(－∞，－)∪(，＋∞).
∵＝，＝－＋2m＝－，
∴AB的中点M(，－)，
∵3(－1)2－
＝3×－
＝3×＝3，
∴M在曲线3(x－1)2－y2＝3上.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
假设存在实数m，使∠AOB为锐角，则·>0，
∴x1x2＋y1y2>0.
∵y1y2＝(－mx1＋2m)(－mx2＋2m)
＝m2x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2，
∴(1＋m2)x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2>0，
∴(1＋m2)(4m2＋3)－8m4＋4m2(m2－3)>0，
即7m2＋3－12m2>0，
∴m2<，
与m2>3矛盾，∴不存在实数m，使得∠AOB为锐角.
