【数学】2019届一轮复习苏教版特征值与特征向量学案

【数学】2019届一轮复习苏教版特征值与特征向量学案

‎2019届一轮复习苏教版 特征值与特征向量 学案 ‎1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义.‎ ‎2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).‎ ‎3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单表示，并能用它来解决问题.‎ ‎[基础·初探]‎ ‎1.特征值与特征向量的定义 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.‎ ‎2.特征多项式的定义 设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式.‎ ‎3.特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：‎ 第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ的值.‎ 第二步：将λ的值代入二元一次方程组 得到一组非零解，于是非零向量即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.‎ ‎4.Anα(n∈N*)的简单表示 ‎(1)设二阶矩阵A＝，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*).‎ ‎(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t1α＋t2β(其中t1，t2为实数)，则Anγ＝t1λα＋t2λβ(n∈N*).‎ ‎[思考·探究]‎ ‎1.特征值与特征向量的几何意义如何？‎ ‎【提示】　从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.‎ ‎2.特征值与特征向量有怎样的对应关系？‎ ‎【提示】　如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量.因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了.‎ ‎3.如何求矩阵A幂的作用结果？‎ ‎【提示】　由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.‎ ‎[质疑·手记]‎ 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：‎ 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 特征值与特征向量的计算与应用 ‎　(1)求矩阵A＝的特征值和特征向量；‎ ‎(2)判断矩阵A是否存在特征值和特征向量.‎ A＝.‎ ‎【精彩点拨】　→→→ ‎【自主解答】　(1)矩阵A的特征多项式为：‎ f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2).‎ 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝2.‎ 将λ1＝1代入二元一次方程组 解得y＝0，x可以为任何非零实数，‎ 不妨记x＝k，k∈R，且k≠0.‎ 于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为.‎ 将λ2＝2代入二元一次方程组 解得x＝0，y可以为任何非零实数，‎ 不妨记y＝m，m∈R，且m≠0.‎ 于是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为.‎ 因此，矩阵A＝的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是，.‎ ‎(2)特征矩阵为，特征多项式为(λ－1)2＋1.‎ 显然(λ－1)2＋1＝0无实根，因此，A没有实特征值，没有实特征向量.‎ ‎1.求矩阵A的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f(λ)，再由f(λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组即可求出特征向量.‎ ‎2.根据矩阵A的特征值与特征向量求矩阵A的一般思路：设A＝，根据Aα＝λα构建a，b，c，d的方程求解.‎ ‎(1)若将本例(1)中A变为，则其特征值与特征向量如何求？‎ ‎(2)求矩阵A＝的特征值和特征向量.‎ ‎ ‎ ‎【导学号：30650049】‎ ‎【解】　(1)矩阵A的特征多项式为 f(λ)＝.‎ 令f(λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A的两个不相等的特征值.‎ 将λ1＝8代入二元一次方程组 ①‎ 即得5x＝6y.‎ 它有无穷多个非零解，其中x≠0，我们任取一个，如，它是属于特征值λ＝8的一个特征向量.‎ 类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有即 它有无穷多个非零解，其中x≠0，我们任取一个，如，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量.‎ ‎(2)特征矩阵为，‎ 矩阵的方程组是 解之得y＝－3x，(x，y)＝(t，－3t)，t为任意实数，当t≠0时，是特征向量.‎ 将λ＝3代入特征矩阵得.‎ 解方程组得y＝x，即(x，y)＝(t，t)，t为任意实数.‎ 当t≠0时，得到特征向量.‎ 根据A，α计算Anα(n∈N*)‎ ‎　给定的矩阵A＝，B＝.‎ ‎(1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；‎ ‎(2)求A4B.‎ ‎【精彩点拨】　用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A4B＝sλα1＋tλα2求A4B.‎ ‎【自主解答】　(1)设A的一个特征值为λ，由题意知：‎ ＝0，‎ 即(λ－2)(λ－3)＝0，‎ ‎∴λ1＝2，λ2＝3.‎ 当λ1＝2时，由＝2，得A属于特征值2的特征向量α1＝；‎ 当λ2＝3时，由＝3，得A属于特征值3的特征向量α2＝.‎ ‎(2)由于B＝＝＋＝α1＋α2，‎ 故A4B＝A4(α1＋α2)‎ ‎＝24α1＋34α2‎ ‎＝16α1＋81α2‎ ‎＝＋ ‎＝.‎ 已知矩阵A和向量α，求Anα(n∈N*)；其步骤为：‎ ‎(1)求出矩阵A的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2.‎ ‎(2)把α用特征向量的组合来表示：α＝sα1＋tα2.‎ ‎(3)应用Anα＝sλα1＋tλα2表示Anα.‎ 已知M＝，β＝，计算M5β. ‎ ‎【导学号：30650050】‎ ‎【解】　矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.‎ 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为 α1＝，α2＝.‎ 令β＝mα1＋nα2，‎ 所以求得m＝4，n＝－3.‎ M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λα1)－3(λα2)‎ ‎＝4·35－3(－1)5＝.‎ ‎[真题链接赏析]‎ ‎　(教材第73页习题2.5第1题)求出下列矩阵的特征值和特征向量：‎ ‎(1)A＝；‎ ‎(2)B＝；‎ ‎(3)C＝.‎ ‎　已知矩阵M＝.‎ ‎(1)求矩阵M的逆矩阵；‎ ‎(2)求矩阵M的特征值及特征向量.‎ ‎【命题意图】　本题主要考查特征值与特征向量的计算.‎ ‎【解】　(1)∵2×4－1×3＝5≠0，‎ ‎∴M存在逆矩阵M－1，‎ ‎∴M－1＝.‎ ‎(2)矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，‎ 令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，‎ 当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，‎ 所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝.‎ 当λ＝5时，‎ 由二元一次方程 得3x－y＝0，‎ 令x＝1，则y＝3，‎ 所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝.‎ ‎1.矩阵A＝的一个特征值是________，相应的一个特征向量为________.‎ ‎【解析】　因为＝＝3，‎ ‎∴它的一个特征值为3，特征向量为.‎ ‎【答案】　3　 ‎2.已知A＝，则矩阵A的特征多项式为________. ‎ ‎【导学号：30650051】‎ ‎【解析】　特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋4－1＝λ2－4λ＋3.‎ ‎【答案】　λ2－4λ＋3‎ ‎3.矩阵A＝的属于特征值λ1＝1的特征向量是________，属于特征值λ2＝2的特征向量是________，它们________(填“共线”“不共线”).‎ ‎【解析】　∵＝，‎ ‎∴α1＝.又＝＝2，‎ ‎∴α2＝，‎ ‎∴α1与α2不共线.‎ ‎【答案】　　　不共线 ‎4.已知A＝，α＝，则A20α＝________.‎ ‎【解析】　矩阵A＝的属于特征值λ1＝1的特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝的特征向量α2＝.由α＝sα1＋tα2，得＝s＋t，s＝1，t＝3，∴A20＝1×120×＋3××＝＋＝.‎ ‎【答案】　 我还有这些不足：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 我的课下提升方案：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎