【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-11定点、定值、探索性问题学案

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【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-11定点、定值、探索性问题学案

第11讲 定点、定值、探索性问题 ‎      圆锥曲线中的定值问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2018·昆明市教学质量检测)在直角坐标系xOy中,已知定圆M:(x+1)2+y2=36,动圆N过点F(1,0)且与圆M相切,记动圆圆心N的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)设A,P是曲线C上两点,点A关于x轴的对称点为B(异于点P),若直线AP,BP分别交x轴于点S,T,证明:|OS|·|OT|为定值.‎ ‎【解】 (1)因为点F(1,0)在圆M:(x+1)2+y2=36内,‎ 所以圆N内切于圆M,则|NM|+|NF|=6>|FM|,‎ 由椭圆定义知,圆心N的轨迹为椭圆,且2a=6,c=1,则a2=9,b2=8,‎ 所以动圆圆心N的轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)证明:设P(x0,y0),A(x1,y1),S(xS,0),T(xT,0),则B(x1,-y1),由题意知x0≠±x1,‎ 则kAP=,直线AP的方程为y-y1=kAP(x-x1),‎ 令y=0,得xS=,‎ 同理xT==,‎ 于是|OS|·|OT|=|xSxT|=‎ =,‎ 又P(x0,y0)和A(x1,y1)在椭圆+=1上,故y=8,y=8,‎ 则y-y=(x-x),xy-xy=8x-8x=8(x-x).‎ 所以|OS|·|OT|= ‎==9.‎ 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式 ‎、化简即可得出定值;‎ ‎(2)求点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;‎ ‎(3)求某线段长度为定值:利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.  ‎ ‎ (2018·张掖市第一次诊断考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,右顶点为E,P为直线x=a上的任意一点,且(+)·=2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A,B两点(点A在第一象限),动直线l与椭圆C交于M,N两点,且M,N位于直线AB的两侧,若始终保持∠MAB=∠NAB,求证:直线MN的斜率为定值.‎ 解:(1)设P,F(c,0),E(a,0),‎ 则=,=,=(c-a,0),‎ 所以(2c-3a)(c-a)=4,‎ 又e==,‎ 所以a=2,c=1,b=,‎ 从而椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)证明:由(1)知A,设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 设MN的方程:y=kx+m,‎ 代入椭圆方程+=1,‎ 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.‎ 则 又M,N是椭圆上位于直线AB两侧的动点,若始终保持∠MAB=∠NAB,‎ 则kAM+kAN=0,‎ 即+=0,‎ ‎(kx1+m-)(x2-1)+(x1-1)=0,‎ 即(2k-1)(2m+2k-3)=0,得k=.‎ 故直线MN的斜率为定值.‎ ‎      圆锥曲线中的定点问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.‎ ‎【解】 (1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.‎ 又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.‎ 因此解得 故C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.‎ 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为,.‎ 则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.‎ 从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.‎ 由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.‎ 而k1+k2=+ ‎=+ ‎=.‎ 由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.‎ 即(2k+1)·+(m-1)·=0.‎ 解得k=-.‎ 当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).‎ 圆锥曲线中定点问题的两种解法 ‎(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.‎ ‎(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.  ‎ ‎ (2018·兰州市高考实战模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为F1(-2,0),点B(2,)在椭圆C上,直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与y轴交于点M,N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)求以MN为直径的圆经过的定点坐标.‎ 解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),‎ 因为椭圆的左焦点为F1(-2,0),‎ 所以a2-b2=4.‎ 因为点B(2,)在椭圆C上,所以+=1.‎ 解得a2=8,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)依题意点A的坐标为(-2,0),设P(x0,y0)(不妨设x0>0),则Q(-x0,-y0),‎ 由得x0=,y0=,所以直线AP的方程为y=(x+2),直线AQ的方程为y=(x+2),‎ 所以M,N,‎ 所以|MN|==,‎ 设MN的中点为E,则点E的坐标为,则以MN为直径的圆的方程为x2+=,即x2+y2+y=4.‎ 令y=0得x=2或x=-2,即以MN为直径的圆经过两定点P1(-2,0),P2(2,0).‎ ‎      圆锥曲线中的探索性问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,是否存在点M(t,0)使·=0成立?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【解】 (1)由c=1,a-c=1,得a=2,‎ 所以b=,‎ 故椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由 消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,‎ 所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,‎ 即m2=3+4k2.‎ 设P(xP,yP),则xP=-=-,‎ yP=kxP+m=-+m=,‎ 即P.‎ 因为M(t,0),Q(4,4k+m),‎ 所以=,‎ =(4-t,4k+m),‎ 所以·=·(4-t)+·(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,‎ 故即t=1.‎ 所以存在点M(1,0)符合题意.‎ 存在性问题的求解策略 解决存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.‎ ‎(3)当要讨论的量能够确定时,可先确定,再证明结论符合题意.  ‎ ‎ (2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知F1,F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆E上,且|PF1|+|PF2|=4.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在常数λ,使得,λ,成等差数列?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)因为|PF1|+|PF2|=4,‎ 所以2a=4,a=2,‎ 所以椭圆E:+=1.‎ 将P代入可得b2=3,‎ 所以椭圆E的方程为+=1.‎ ‎(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时,+=+=;‎ ‎②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),‎ 代入椭圆方程+=1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.‎ 设A(x1,y1),C(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1·x2=.‎ ‎|AC|=|x1-x2|==.‎ 因为直线BD的斜率为-,‎ 所以|BD|==.‎ 所以+=+=.‎ 综上,2λ=+=,‎ 所以λ=.‎ 故存在常数λ=,使得,λ,成等差数列.‎ ‎ 求解定点问题的基本思路 ‎(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把参数当作未知数,将方程一端化为0,即化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把参数k当作未知数).‎ ‎(2)既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于0,这样就得到一个关于x,y的方程组,即 ‎(3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,即满足的点(x0,y0)为直线或曲线所过的定点.‎ ‎ 求解定值问题的基本思路 ‎(1)先求出这个几何量或代数表达式;‎ ‎(2)对表达式进行化简,整理成y=f(m,n,k)的最简形式;‎ ‎(3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后求出定值,一般是根据已知条件列出方程k=g(m,n)代入y=f(m,n,k),得到y=h(m,n)+c(c为常数)的形式.‎ ‎ 探索性问题的求解策略 ‎(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.‎ ‎(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.                                         ‎ ‎1.(2018·郑州质量预测(一))已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则·的值为(  )‎ A.3            B.4‎ C.5 D.与P的位置有关 解析:选A.依题意,设点P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),其中x-4y=4,则直线l的方程是-y0y=1,题中双曲线的两条渐近线方程为y=±x.‎ ‎①当y0=0时,直线l的方程是x=2或x=-2.由,得,此时·=(2,-1)·(2,1)=4-1=3,同理可得当直线l的方程是x=-2时,·=3.‎ ‎②当y0≠0时,直线l的方程是y=(x0x-4).由,得(4y-x)x2+8x0x-16=0(*),又x-4y=4,因此(*)即是-4x2+8x0x-16=0,x2-2x0x+4=0,x1x2=4,·=x1x2+y1y2=x1x2-x1x2=x1x2=3.‎ 综上所述,·=3,选A.‎ ‎2.(2018·湖南湘中名校联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足++=0,则++=________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,由+=-,得y1+y2+y3=0.因为kAB==,所以kAC=,kBC=,所以++=++=0.‎ 答案:0‎ ‎3.已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.‎ ‎(1)求E的方程;‎ ‎(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且·=-16,求证:直线AB恒过定点.‎ 解:(1)设P(x,y),则=(y+1)+1⇒x2=8y.‎ 所以E的方程为x2=8y.‎ ‎(2)证明:易知直线AB的斜率存在,设直线AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 将直线AB的方程代入x2=8y中,‎ 得x2-8kx-8b=0,‎ 所以x1+x2=8k,x1x2=-8b.‎ ·=x1x2+y1y2=x1x2+=-8b+b2=-16⇒b=4,‎ 所以直线AB恒过定点(0,4).‎ ‎4.椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点斜率为的直线l交C于A,B两点.当m=0时,·=-.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)证明:|PA|2+|PB|2为定值.‎ 解:(1)因为离心率为,‎ 所以=.‎ 当m=0时,l的方程为y=x,‎ 代入+=1并整理得x2=.‎ 设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),‎ ·=-x-y=-x=-·.‎ 又因为·=-,‎ 所以a2=25,b2=16,‎ 椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)证明:l的方程为x=y+m,‎ 代入+=1,‎ 并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 则|PA|2=(x1-m)2+y=y,‎ 同理|PB|2=y.‎ 则|PA|2+|PB|2=(y+y)=[(y1+y2)2-2y1y2]=·=41.‎ 所以|PA|2+|PB|2为定值.‎ ‎1.(2018·太原市模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴,y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆C于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意得 解得,所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)存在这样的直线l.‎ 因为y=kx+m,所以M(0,m),N,‎ 因为|PM|=|MN|,所以P,则Q,‎ 所以直线QM的方程为y=-3kx+m.‎ 设A(x1,y1),由,得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,‎ 所以x1+=-,所以x1=,‎ 设B(x2,y2),由,得(3+36k2)x2-24kmx+4(m2-3)=0.‎ 所以x2+=,所以x2=-,‎ 因为点N平分线段A1B1,所以x1+x2=-,‎ 所以--=-,所以k=±,‎ 所以P(±2m,2m),所以+=1,解得m=±,‎ 因为|m|=<b=,‎ 所以直线l的方程为y=±x±.‎ ‎2.(2018·福州市综合质量检测)已知圆O:x2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O.记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)证明:|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;‎ ‎(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T.记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.‎ 解:(1)如图,因为圆C1内切于圆O,‎ 所以|OC1|=2-|AP|.‎ 依题意,O,C1分别为AB,AP的中点,所以|OC1|=|BP|.‎ 所以|AP|+|BP|=2(2-|OC1|)+2|OC1|=4>|AB|.‎ 所以C2是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆,‎ 所以C2的方程为+y2=1.‎ ‎(2)依题意,设直线DM的方程为y=k(x+2)(k≠0),‎ 因为MN为圆O的直径,所以∠MDN=90°,‎ 所以直线DN的方程为y=-(x+2),‎ 所以圆心O(0,0)到直线DM的距离为,‎ 所以|DM|=2=,‎ 同理可得,|DN|==.‎ 由,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,‎ 所以-2·xS=,‎ 解得xS=,‎ 所以|DS|=|xS+2|=,‎ 所以|DT|==,‎ 所以==,‎ 令t=1+k2,则t>1,0<<3,‎ 所以==∈,‎ 即的取值范围为.‎
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