四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题6理

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四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题6理

- 1 - 四川省广元市苍溪县实验中学校 2020 届高三数学下学期适应性考试 试题(6)理 第 I 卷 选择题(60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合  2 6 0A x x x    ,  1 0B x x   ,则 A B 的值是 A. - ,1 B. -2,1 C. -3,-1 D. 3, 2.若复数 3 1 2 a iz i   ( a R ,i 是虚数单位)是纯虚数,则复数 z 的虚部为 A. 3 B. 3i C.3 D. 3i 3.已知向量 1(8, )2a x , ( ,1)b x , 0x  ,若 2a b  与 2a b  共线,则 x 的值为 A.4 B.8 C.0 D.2 4.PM2.5 是空气质量的一个重要指标,我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35μg/m3 以下空气质量为一级,在 35μg/m3~75μg/m3 之间空气质量为二级,在 75μg/m3 以上空气质量为超标.如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值(单位: μg/m3)的统计数据,则下列叙述不正确的是 A.这 10 天中,12 月 5 日的空气质量超标 B.这 10 天中有 5 天空气质量为二级 C.从 5 日到 10 日,PM2.5 日均值逐渐降低 D.这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数 是 47 - 2 - 5.在 ABC 中,D 在 BC 边上,且 2BD DC ,E 为 AD 的中点,则 BE  A. 1 1 3 6AC AB  B. 1 5 3 6AC AB   C. 1 1 3 6AC AB   D. 1 5 3 6AC AB  6.已知随机变量  ~ 2,1X N ,其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形 OABC 中随机投 掷10000个点,则落入阴影部分的点个数的估计值为 附:若随机变量  2~N ,   ,则   0.6826P          ,  2 2 0.9544P          . A. 4772 B.5228 C.1359 D.3413 7.已知 0.22018a  , 20180.2b  , 2018log 0.2c  ,则 A. c b a  B.b a c  C. a b c  D. a c b  8.已知 , ,l m n 是三条不同的直线, ,  是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是 A.若 , , ,l m l n m n     ,则l  B.若 , / / ,l m     ,则l m C.若 / / ,l m m  ,则 / /l  D.若 , ,l m      ,则 //l m 9.已知 F 是抛物线 xyC 4: 2  的焦点,A,B 为抛物线 C 上两点,且 6AF BF  .则线 段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A.3 B.2 C. 2 5 D. 2 3 10.在 ABC△ 中, )sin(3)2sin(3 AA   , )cos(3cos BA   则 ABC△ 为 - 3 - A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 11.已知抛物线 1C : 2y tx ( 0, 0)y t  在点 4( ,2)M t 处的切线与曲线 2C : xy e 相切, 若动直线 y a 分别与曲线 1C 、 2C 相交于 A 、 B 两点,则 AB 的最小值为 A. ln3 1 3  B. ln3 1 3  C.1 ln 2 2  D.1 ln 2 2  12.过点 ( 1,0)P  的直线与圆 2 2: ( 3) 4E x y   相切于 M,N 两点,且这两点恰好在椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     上,设椭圆的右顶点为 A,若四边形 PMAN 为平行四边形,则椭 圆的离心率为 A. 21 7 B. 2 2 C. 3 5 D. 42 7 二、填空题第 II 卷 非选择题(90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.在二项式 5 2 1x x     的展开式中,含 4x 的项的系数是___________ 14.经过点   10 0 2, 、 , 且圆心在直线 2y x 上的圆的方程是____. 15.已知直线 1 0kx y k    恒过定点 A ,且点 A 在直线  2 0 0, 0mx ny m n     上, 则 mn 的最大值为_____________ 16.定义 1 1 22 2n n n a a aH n   为数列 na 的“均值”,已知数列 nb 的“均 - 4 - 值” 12n nH  ,记数列 nb kn 的前 n 项和为 nS ,若 6nS S 对任意正整数 n 恒成立,则实 数 k 的范围为__________. 三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分 17.(12 分)在 ABC 中,角 A , B 、C 的对边分别为 a ,b , c ,且 3 cos sin a b A B  . (Ⅰ)求 A ; (II)若 2a  ,且  cos 2sin sin cosB C B C C   ,求 ABC 的面积. 18.(12 分)2012 年 12 月 18 日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一, 郑州市正式发布 2.5PM 数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气 质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数( AQI ), 其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2,5,2 个监测站点,以 9 个站点测得 的 AQI 的平均值为依据,播报我市的空气质量. (Ⅰ)若某日播报的 AQI 为 118,已知轻度污染区 AQI 的平均值为 74,中度污染区 AQI 的 平均值为 114,求重度污染区 AQI 的平均值; (Ⅱ)如图是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布,11 月份仅有一天 AQI 在[170,180) 内. - 5 - ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的 AQI 为标准,如果 AQI 小 于 180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率,求该校周日进行社会实践活动 的概率; ②在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的 空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价,设抽取到 AQI 不小于 180 的天数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 19.(12 分)已知四棱锥 P ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PD PB ,H 为 PC 上的点, 过 AH 的平面分别交 ,PB PD 于点 ,M N ,且 / /BD 平面 AMHN . (Ⅰ)证明: MN PC ; (II)当 H 为 PC 的中点, 3PA PC AB  , PA 与平面 ABCD 所 成的角为 60,求二面角 P AM N  的余弦值. 20.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 1 2 ,直线 : 2 4l x y  与椭圆有且只有 一个交点T . - 6 - (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和点T 的坐标; (II)设O 为坐标原点,与 OT 平行的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 A B, ,直线l 与直线 l 交于点 P ,试判断 2PT PA PB 是否为定值,若是请求出定值,若不是请说明理由. 21. e 是自然对数的底数, 0a  ,已知函数   x af x x e   , xR . (Ⅰ)若函数  f x 有零点,求实数 a 的取值范围; (II)对于   xg x e ,证明:当 2a e  时,       1 1 1 xf x g x g e   . (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 2 1 x t y t       (t 为参数),在以直角坐标系 的原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为 2 2sin cos   . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; (II)若直线l 与曲线C 相交于 A , B 两点,求 AOB 的面积. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数  f x x a x b    (Ⅰ)若 1a  , 2b  ,求不等式   5f x  的解集; (Ⅱ)若 0a  , 0b  ,且 4 2a b ab  ,求证:   9 2f x  . - 7 - - 8 - 理科数学参考答案 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B 11.D 12.D 13.10 14.   2 21 512 4x y       15.1 16. 16 7 7 3k  17.(1)∵ 3 cos sin sin a b a A B A   ,∴ 3tan 3A  .∵  0,A  ,∴ 6A  . (2) ∵  cos 2sin sin cosB C B C C   ∴ cos cos sin sin 2sin sin cosB C B C B C C   , ∴  cos cosB C C   ,即 cos cosA C ,即 A C .∵ 6A  ,∴ 2 3B  .∵ 2a  , ∴ 2a c  . ∴ 1 1 3sin 2 2 32 2 2ABCS ac B       . 18.(Ⅰ)设重度污染区 AQI 的平均值为 x ,则 74 2 114 5 2 118 9x      ,解得 172x  . 即重度污染区 AQI 平均值为 172. (Ⅱ)①由题意知, AQI 在 170,180 内的天数为 1, 由图可知,AQI 在 50,170 内的天数为 17 天,故 11 月份 AQI 小于 180 的天数为1 17 18  , 又 18 3 30 5  ,则该学校去进行社会实践活动的概率为 3 5 . ②由题意知, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且 - 9 -   3 0 18 12 3 30 2040 1015 C CP X C    ,   2 1 18 12 3 30 4591 1015 C CP X C    ,   1 2 18 12 3 30 2972 1015 C CP X C    ,   0 3 18 12 3 30 113 203 C CP X C    , 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 204 1015 459 1015 297 1015 11 203 数学期望 EX  204 459 297 110 1 2 31015 1015 1015 203        6 5  . 19.(1)证明:连结 AC 交 BD 于点O ,连结 PO .因为 ABCD 为菱形,所以 BD AC , 且O 为 AC 、 BD 的中点,因为 PD PB ,所以 PO BD , 因为 AC PO O  且 AC PO 、 平面 PAC ,所以 BD  平面 PAC , 因为 PC 平面 PAC ,所以 BD PC . 因为 / /BD 平面 AMHN , BD  平面 PBD ,且平面 AMHN  平面 PBD MN , 所以 / /BD MN ,所以 MN PC . (2)由(1)知 BD AC 且 PO BD ,因为 PA PC ,且 O 为 AC 的中点, 所以 PO AC ,所以 PO  平面 ABCD ,所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为 PAO , 所以,所以 1 3,2 2AO PA PO PA  ,因为 3PA AB ,所以 3 6BO PA . 分别以OA  , OB  , OP  为 , ,x y z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,设 2PA  ,则 - 10 -        3 3 1 30,0,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 0,0, 3 , ,0,3 3 2 2O A B C D P H                        , 所以  2 3 3 3 30, ,0 , ,0, , 1, ,0 , 1,0, 33 2 2 3DB AH AB AP                                . 记平面 AMHN 的法向量为  1 1 1 1, ,n x y z ,则 1 1 1 1 1 2 3 03 3 3 02 2 n DB y n AH x z               , 令 1 0x  ,则 1 10, 3y z  ,所以  1 1,0, 3n  , 记平面 PAB 的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z ,则 2 2 2 2 2 2 3 03 3 0 n AB x y n AP x z                 , 令 2 1x  ,则 2 2 33, 3y z  ,所以 2 31, 3, 3n        , 记二面角 P AM N  的大小为 ,则 1 2 1 2 1 2 39cos cos< , 13 n nn n n n            . 所以二面角 P AM N  的余弦值为 39 13 . 20.(I)由椭圆的离心率 e= c a = 2 21 b a  = 1 2 ,则 b2= 3 4 a2, 则 2 2 2 2 2 4 4 13 x y x y a a     ,消去 x,整理得: 16 3 y2﹣16y+16﹣a2=0,①由△=0,解得:a2=4,b2=3, - 11 - 所以椭圆的标准方程为: 2 4 x + 2 3 y =1;所以 Ty = 3 2 ,则 T(1, 3 2 ), (Ⅱ)设直线 l′的方程为 y= 3 2 x+t,由 3 2 2 4 y x t x y       ,解得 P 的坐标为(1﹣ 2 t , 3 2 + 4 t ), 所以|PT|2= 5 16 t2,设设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 2 2 3 2 3 4 12 y x t x y       ,消去 y 整理得 x2+tx+ 2 3 t ﹣1=0, 则 x1+x2=﹣t,x1x2= 2 3 3 t  ,△=t2﹣4( 2 3 t ﹣1)>0,t2<12, y1= 3 2 x1+t,y2= 3 2 x2+t,|PA|= 2 2 1 1 31 2 2 4 t tx y              = 13 2 | 2 2 t ﹣x1|, 同理|PB|= 13 2 | 2 2 t ﹣x2|,|PA|•|PB|=13 4 |( 2 2 t ﹣x1)( 2 2 t ﹣x2)|=13 4 | 22 2 t     ﹣ 2 2 t (x1+x2)+x1x2|,13 4 | 22 2 t     ﹣ 2 2 t (﹣t)+ 2 3 3 t  |= 13 48 t2,所以 2| |PT PA PB = 2 2 5 16 13 48 t t =15 13 , 所以 2| |PT PA PB =15 13 为定值. 21.(1)由函数 ( )f x 有零点知,方程 ( ) 0x af x x e    有实数解,因为 0xa xe   ,所以 0x  .设 ( ) xg x xe  , ( , 0)x   , 则 a 的取值范围转化为函数 ( ) xg x xe  在 ( , 0)x   上的值域. 因为 ( ) ( 1) xg x x e    ,所以当 (x  , 1) 时 ( ) 0g x  ,函数 ( )g x 在 ( , 1)  上单调递增, 当 x ( 1,0) 时 ( ) 0g x  ,函数 ( )g x 在 ( 1,0) 上单调递减, - 12 - 故函数 ( )g x 在 1x   时,取得最大值 1 1( 1) ( 1)g e e      , 又 ( , 1)x   上, ( ) 0xg x xe   ,所以函数 ( ) xg x xe  在 ( , 1)x   上的值域为 (0 , 1]e .当 x ( 1,0) 时, ( ) 0xg x xe   ,所以函数 ( ) xg x xe  在 ( , 0)x   上的值域为 (0 , 1]e . 从而函数 ( ) x af x x e   有零点时,实数 a 的取值范围为 (0 , 1]e (2) 1 1( ) ( 1) ( )xf x g x g e… … 可以转化为证明两个不等式 1 1 x x ax e e  …  1 0xxe a e   … ①, 1 10 ( 1) ( ) ( 1) ( ) x xg x g e g x g e    „ … ②.设 1( ) xF x xe a e    ,所以 ( ) ( 1) xF x x e   , 当 ( , 1)x   时, ( ) 0F x  ,函数 ( )F x 在 ( , 1)  上单调递减,当 ( 1, )x   时, ( ) 0F x  ,函数 ( )F x 在 ( 1, )  上单调递增.故函数 ( )F x 在 1x   时,取得最小值 1 1 2( 1) ( 1) 0F a ae e e        … ,所以 ( ) ( 1) 0F x F … … .得证 1 1 1( ) ( 1)x x ax f xe e g x  … … ① 设 ( )= 1xG x e x  ,有 ( ) 1xG x e   ,当 0x  时, ( ) 0G x  .函数 ( )G x 在 ( ,0) 上单调递减; 当 0x  时,函数 ( ) 0G x  , ( )G x 在 (0, ) 上单调递增.故函数 ( )G x 在 0x  时,取得最小 值 0(0) 0 1 0G e    . 所以 ( ) (0) 0G x G … ,得 1 xx e „ .(仅当 0x  时取等号) 又由 ( ) xg x e 为增函数,得 1 10 ( 1) ( ) ( 1) ( ) x xg x g e g x g e    „ … ②.合并①②得证 1 1( ) ( 1) ( )xf x g x g e… … . 22.(1)由曲线C 的极坐标方程为 2 2sin cos   ,得 2 2cos 2 sin    ,所以曲线C 的直角 坐标方程是 2 2x y . - 13 - 由直线l 的参数方程为 2 1 x t y t       (t 为参数),得直线l 的普通方程 1 0x y   (2)由直线l 的参数方程为 2 1 x t y t       (t 为参数),得 22 2 21 2 x t y t        (t 为参数), 代入 2 2x y ,得 2 6 2 12 0t t   ,设 A ,B 两点对应的参数分别为 1t ,2t ,则 1 2 6 2t t  , 1 2 12t t  , 所以    22 1 2 1 2 1 24 6 2 4 12 2 6AB t t t t t t         , 因为原点到直线 1 0x y   的距离 1 2 22 d   ,所以 1 1 2· 2 6 32 2 2AOBS AB d     . 23.(Ⅰ) 1 2a b , 时,   25 1 2 5 2 1 5 xf x x x x            或 2 1 3 5 x     或 1 2 1 5 x x     , 解得 3 2x   ,故不等式 5f x ( ) 的解集为 3 2 , ; (Ⅱ) 0 0a b> , > 时 f x x a x b x b x a a b         ( ) ( )( ) ,当且仅当 b x a   时,取等. ∵ 4 2a b ab  ,∴ 1 2 12b a   ,   1 2 2a b a b a a         1 2 5 2 92 22 2 2 2 2 a b a b b a b a        当且仅当 4 2 3 3a b , 时取等. - 14 - 故   9 2f x  .
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