【数学】2019届一轮复习北师大版不等式、线性规划学案
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第四讲 不等式、线性规划
思想方法诠释
对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主．
2．对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景．其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．
3．对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式.
1．(2017·广东珠海二模)若集合A＝，B＝{x|x2<2x}，则A∩B等于( )
A．{x|0
0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，当且仅当时等号成立，∴ab≥2.
解法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当时，取等号，选C.
[答案] C
4．(2017·山东卷)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋<0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
[对点训练]
1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵x2－4x＋3<0⇔(x－1)(x－3)<0⇔10⇔x>，∴B＝，
∴A∩B＝＝.故选D.
[答案] D
2．(2017·河北质量监测)函数f(x)＝
则不等式f(x)>2的解集为( )
A．(－2,4) B．(－4，－2)∪(－1,2)
C．(1,2)∪(，＋∞) D．(，＋∞)
[解析] 令2ex－1>2(x<2)，解得12(x≥2)，解得x>，故选C.
[答案] C
3．(2017·广东清远一中一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析] 关于x的不等式ax－b<0即ax0可化为
(x＋1)(x－3)<0，解得－10时，需满足a≤2，所以－2≤a≤2.
[答案] A
(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．
(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法；②分离参数法；③更换主元法．
考点二 基本不等式的应用
1．基本不等式：≥
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
[对点训练]
1．(2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
[解析] 由a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
[答案] C
2．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2＋2
B．a＋b有最大值2＋2
C．ab有最大值＋1
D．ab有最小值2＋2
[解析] ∵a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，∴1＋a＋b＝ab≤2，则(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，得a＋b≥2＋2或a＋b≤－2＋2(舍去)，当且仅当a＝b＝1＋时等号成立．∵a＋b＝ab－1≥2＋2，∴ab≥3＋2，当且仅当a＝b时等号成立，故选A.
[答案] A
3．(2017·海淀期末)当00，则的最小值为________．
[解析] ∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，
∴≥＝4ab＋，由于ab>0，
∴4ab＋≥2 ＝4，
故当且仅当时，的最小值为4.
[答案] 4
利用基本不等式求函数最值的3个关注点
(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax＋(ab>0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．
考点三 线性规划问题
1．线性目标函数 ＝ax＋by最值的确定方法
线性目标函数 ＝ax＋by中的 不是直线ax＋by＝ 在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋，可知是直线ax＋by＝ 在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2．常见的目标函数类型
(1)截距型：形如 ＝ax＋by，可以转化为y＝－x＋，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；
(2)斜率型：形如 ＝，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；
(3)距离型：形如 ＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如 ＝|Ax＋By＋C|，表示区域内的动点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
角度1：给出约束条件求区域面积和目标函数的最值
[解析] 由约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．
平移直线3x－2y＝0可知，目标函数 ＝3x－2y在A点处取最小值，
又由解得即A(－1,1)，
所以 min＝3×(－1)－2×1＝－5.
[答案] －5
[探究追问] 在例1－1的条件下， ＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．
[解析] 由解得即C.
(x＋1)2＋y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(－1，0)间距离的平方．
由图可知，点(－1,0)到直线AB：2x＋y＋1＝0的距离最小，为＝，故 min＝；点(－1,0)到点C的距离最大，故 max＝2＋2＝.所以 ＝(x＋1)2＋y2的取值范围是.
[答案]
角度2：由最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围
【例1－2】 (2017·开封一模)若x，y满足约束条件且目标函数 ＝ax＋2y
仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
[思维流程] →→
[解析] 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线 ＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－40，且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．4 B．3 C．1 D．2
[解析] 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．
设 ＝x＋y，由得A.易知当 ＝x＋y经过点A时， 取得最大值，故＋＝9，得m＝1.
[答案] C
热点课题4 求解不等式中参数范围问题
[感悟体验]
1．(2017·安徽六安一中月考)在区间(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，则m的取值范围为( )
A．m>－4 B．m<－4
C．m>－5 D．m<－5
[解析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解，需满足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故选C.
[答案] C
2．(2017·唐山一模)已知a>1，b>0，若a＋b＝2，且＋1，b>0，a＋b＝2，∴a－1>0，a－1＋b＝1.∴＋≤＝，当且仅当b＝a－1，a＋b＝2，即a＝，b＝时取等号，所以m2－m＋>，解得m>1或m<0.故选D.
[答案] D
