【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第七章不等式7-1两个实数比较大小的方法学案

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【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第七章不等式7-1两个实数比较大小的方法学案

‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法(a，b∈R)；‎ ‎(2)作商法(a∈R，b>0).‎ ‎2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn ‎(n∈N，n≥1)‎ a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒> ‎(n∈N，n≥2)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0).‎ ‎②>；<(b－m>0).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.(　×　)‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.(　×　)‎ ‎(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.(　×　)‎ ‎(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　√　)‎ ‎(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是______________.‎ 答案　a>－b>b>－a 解析　∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.‎ ‎2.(教材改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的____________条件.‎ 答案　充分不必要 解析　－>0⇒> ‎⇒a>b⇒a2>b2，‎ 但由a2－b2>0⇏－>0.‎ ‎3.(2016·南京模拟)若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是________.‎ ‎①a－b>0; ②a3＋b3>0；‎ ‎③a2－b2<0; ④a＋b<0.‎ 答案　④‎ 解析　由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，‎ 当b≥0时，a＋b<0成立，‎ 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0.‎ ‎4.如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________________.‎ 答案　a<－a2－1，∴a<－a21且2a<1，‎ ‎∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a ‎＝－22＋<.‎ 即a<2ab<，‎ 又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，‎ 即a2＋b2>，‎ a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，‎ 又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，‎ ‎∴a2＋b2b；‎ ＝＝log6251 024>1，‎ 所以b>c.即ce时，函数f(x)单调递减.‎ 因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，‎ 即c0，试比较a与的大小.‎ 解　因为a－＝＝，‎ 因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；‎ 当a＝1时，＝0，有a＝；‎ 当01时，a>；‎ 当a＝1时，a＝；‎ 当00,1618>0，‎ ‎∴1816<1618，即aac; ②c(b－a)<0；‎ ‎③cb20.‎ ‎(2)若<<0，则下列不等式：‎ ‎①a＋b|b|；③a0.‎ 由b>c得ab>ac一定成立.‎ ‎(2)因为<<0，所以b0，‎ 所以a＋b0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是________.‎ 答案　3‎ 解析　方法一　∵a>0>b，c0，‎ ‎∴ad0>b>－a，∴a>－b>0，‎ ‎∵c－d>0，‎ ‎∴a(－c)>(－b)(－d)，‎ ‎∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正确.‎ ‎∵c－d，‎ ‎∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，‎ ‎∴a－c>b－d，故③正确.‎ ‎∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，‎ 故④正确.‎ 方法二　取特殊值.‎ 题型三　不等式性质的应用 命题点1　应用性质判断不等式是否成立 例3　已知a>b>0，给出下列四个不等式：‎ ‎①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为________.‎ 答案　①②③‎ 解析　方法一　由a>b>0可得a2>b2，①成立；‎ 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，‎ ‎∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；‎ ‎∵a>b>0，∴>，‎ ‎∴()2－(－)2‎ ‎＝2－2b＝2(－)>0，‎ ‎∴>－，③成立；‎ 若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，‎ a3＋b3<2a2b，④不成立.‎ 方法二　令a＝3，b＝2，‎ 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立.‎ 命题点2　求代数式的取值范围 例4　已知－1； ②a2bn.‎ ‎(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：‎ ‎①>； ②acloga(b－c).‎ 其中所有正确结论的序号是________.‎ 答案　(1)③　(2)①②③‎ 解析　(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；‎ ‎③中，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)‎ ‎⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，‎ ‎∵ab>1知<，‎ 又c<0，∴>，①正确；‎ 构造函数y＝xc，‎ ‎∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，‎ 又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，‎ ‎∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.‎ ‎6.利用不等式变形求范围 典例　设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.‎ 错解展示 解析　由已知得 ‎①＋②得3≤2a≤6，∴6≤4a≤12，‎ 又由①可得－2≤－a＋b≤－1， ③‎ ‎②＋③得0≤2b≤3，∴－3≤－2b≤0，‎ 又f(－2)＝4a－2b，∴3≤4a－2b≤12，‎ ‎∴f(－2)的取值范围是[3,12].‎ 答案　[3,12]‎ 现场纠错 解析　方法一　由 得 ‎∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎ 方法二　由 确定的平面区域如图阴影部分所示，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点A(，)时，‎ 取得最小值4×－2×＝5，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，‎ 取得最大值4×3－2×1＝10，‎ ‎∴5≤f(－2)≤10.‎ 答案　[5,10] ‎ 纠错心得　在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.‎ ‎1.(教材改编)当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系为______________.‎ 答案　x3＞x2－x＋1‎ 解析　∵x3－(x2－x＋1)‎ ‎＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)‎ ‎＝(x－1)(x2＋1).‎ 又∵x＞1，‎ 故(x－1)(x2＋1)＞0，‎ ‎∴x3－(x2－x＋1)＞0，‎ 即x3＞x2－x＋1.‎ ‎2.(2016·镇江模拟)若6y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是________.‎ ‎①xy>yz; ②xz>yz；‎ ‎③xy>xz; ④x|y|>z|y|.‎ 答案　③‎ 解析　∵x>y>z且x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0，‎ 又y>z，∴xy>xz.‎ ‎4.设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“ab，则ac2>bc2；‎ ‎②若>，则a>b；‎ ‎③若a3>b3且ab<0，则>；‎ ‎④若a2>b2且ab>0，则<.‎ 答案　③‎ 解析　当c＝0时，可知①不正确；‎ 当c<0时，可知②不正确；‎ 对于③，由a3>b3且ab<0，知a>0且b<0，‎ 所以>成立，③正确；‎ 当a<0且b<0时，可知④不正确.‎ ‎7.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是________.‎ ‎①a＋>b＋； ②>；‎ ‎③a－>b－； ④>.‎ 答案　①‎ 解析　取a＝2，b＝1，排除②与④；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝‎ x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立.‎ ‎8.若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是________.‎ ‎①<； ②log2a>log2b；‎ ‎③a2＋b2≤2a＋2b－2; ④b<<0(由a>b>0，a，b不能同时为1)，‎ ‎∴a2＋b2－2a－2b＋2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2，‎ ‎∴③一定不成立.‎ ‎9.若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n<0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是____________.‎ 答案　 解析　当n为奇数时，2n(1－a)<3n－1，1－a<×n恒成立，只需1－a<×1，∴a>.当n为偶数时，2n(a－1)<3n－1，a－1<×n恒成立，只需a－1<×2，∴a<.‎ 综上，0，bc－ad>0，则－>0；‎ ‎②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；‎ ‎③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.‎ 其中正确的命题是________.‎ 答案　①②③‎ 解析　∵ab>0，bc－ad>0，‎ ‎∴－＝>0，∴①正确；‎ ‎∵ab>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴bc－ad>0，∴②正确；‎ ‎∵bc－ad>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.‎ ‎11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为____________.‎ 答案　8(x＋19)>2 200‎ 解析　因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19) km，则在8天内它的行程为8(x＋19) km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示.‎ ‎12.已知－1<2x－1<1，则－1的取值范围是________.‎ 答案　(1，＋∞)‎ 解析　－1<2x－1<1⇒01⇒>2‎ ‎⇒－1>1.‎ ‎13.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是__________(用区间表示).‎ 答案　[3,8]‎ 解析　∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，‎ ‎∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，‎ ‎∴z的取值范围是[3,8].‎ ‎14.已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小.‎ 解　f(x)＝m(1＋)，f(a)＝m(1＋)，‎ f(b)＝m(1＋).‎ 由a>b>1，知a－1>b－1>0.‎ ‎∴<，∴1＋<1＋.‎ ‎①当m>0时，m(1＋)m(1＋)，f(a)>f(b).‎ 综上所述，当m>0时，f(a)f(b).‎
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