【数学】2018届一轮复习苏教版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件教案（江苏专用）
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.
【知识拓展】
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( × )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( × )
(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.下列命题为真命题的是________.(填序号)
①若＝，则x＝y； ②若x2＝1，则x＝1；
③若x＝y，则＝； ④若x
y2，则x>y”的逆否命题是________________________.
答案 若x≤y，则x2≤y2
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.
3.(教材改编)给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题的序号为________.
答案 ①②③
解析 ①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题.
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题.
③原命题“若a>b>0，则>>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.
④原命题的逆命题为：“若不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命题.
4.(2016·北京改编)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的______________条件.
答案 既不充分又不必要
解析 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件.
5.(教材改编)下列命题：
①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件；
②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件；
③“sin α＝sin β”是“α＝β”的充要条件；
④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件.
其中为真命题的是________.(填序号)
答案 ②④
题型一 命题及其关系
例1 (2016·徐州一模)有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题为________.(填序号)
答案 ①②③
解析 ①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；④中原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.
(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2
≥3”的否命题是______________________________.
答案 (1)若x≤0，则x2≤0 (2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
解析 (2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.
题型二 充分必要条件的判定
例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α0或a<－1，则p是q的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)
答案 (1)充要 (2)必要不充分
解析 (1)f(x)＝＋a (x≠0)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，即＋a＋＋a＝0，所以a＝，此时f(1)＝＋＝1，反之也成立，因此填“充要”.
(2)关于x的不等式x2＋2ax－a≤0有解，则4a2＋4a≥0⇒a≤－1或a≥0，从而q⇒p，反之不成立，故p是q的必要不充分条件.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].
引申探究
1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.
2.本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P⇒S且SD/⇒P.
∴[－2,10][1－m,1＋m].
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
(2016·盐城期中)设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}.
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
解 (1)解不等式x2＋2x－3<0，
得－30；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________.
思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.
解析 (1)因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件.
(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.
所以{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，
所以a≥1.
答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)
1.命题“若α＝，则tan α＝1”的否命题是____________________.
答案 若α≠，则tan α≠1
2.(教材改编)命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________________.
答案 若a≤b，则2a≤2b－1
解析 ∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”.
3.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a
不是正数，则它的平方等于0”，则q是p________命题.(填“逆”“否”“逆否”)
答案 否
解析 命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.
4.(2015·重庆改编)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的____________条件.
答案 充分不必要
解析 由x＞1⇒x＋2＞3⇒(x＋2)＜0，(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”的充分不必要条件.
5.(2016·山东改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件.
答案 充分不必要
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.
6.已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－13，即m>2.
7.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件.
答案 充要
解析 由Venn图易知充分性成立.反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件.
8.函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是________.(填序号)
①a<0 ②01
答案 ①
解析 因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点.由数形结合，可得a≤0或a>1.
观察所给条件，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}.
9.(2016·无锡模拟)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的__________条件.
答案 充要
解析 设f(x)＝x|x|，
则f(x)＝
所以f(x)是R上的增函数，
所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.
10.有三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题.
其中真命题的序号为____________.
答案 ①
解析 命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.
11.给定两个命题p、q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵綈p是q的必要不充分条件，∴q⇒綈p但綈p⇏q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇏p，∴p是綈q的充分不必要条件.
12.若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2.
13.若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________.
答案 [，＋∞)
解析 若数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<.
故所求λ的取值范围是[，＋∞).
14.(2016·江苏扬州期中联考)以下四个命题中，真命题的个数是________.
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；
②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在△ABC中，A
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