高考数学二轮讲座：不等式

高考数学二轮讲座：不等式

‎ ‎ 不等式 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。‎ 一、知识整合 ‎ ‎1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．[来源:学科网]‎ ‎2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．‎ ‎3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． ‎ ‎4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．‎ ‎5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．‎ ‎6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。‎ ‎7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数 5‎ ‎ ‎ ‎、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．‎ 二、方法技巧 ‎1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。‎ ‎2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。‎ ‎3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。‎ ‎4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。‎ 三、例题分析 b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．‎ 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？[来源:Z§xx§k.Com]‎ 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)‎ ‎[来源:Zxxk.Com][来源:学*科*网]‎ ‎(2)当1≤y≤3时，‎ 所以当y=1时，= 4．‎ 简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式 例2．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ） ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 5‎ ‎ ‎ 例3．数列由下列条件确定：‎ ‎（1）证明：对于,‎ ‎（2）证明：对于．‎ 证明：（1）‎ ‎（2）当时，‎ ‎=。‎ 例4．解关于的不等式：[来源:Z.xx.k.Com]‎ 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。‎ 解：当[来源:Zxxk.Com]‎ ‎。‎ 例5．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．‎ 分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 5‎ ‎ ‎ 解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是 解法一(利用基本不等式的性质)‎ 不等式组(Ⅰ)变形得 ‎(Ⅰ)‎ 所以f(-2)的取值范围是[6，10]．‎ 解法二(数形结合)[来源:学§科§网][来源:学科网ZXXK]‎ 建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．‎ 解法三(利用方程的思想)‎ 又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①‎ 所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②‎ ‎①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．‎ 简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：‎ ‎2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．[来源:学科网]‎ 5‎ ‎ ‎ ‎(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．‎ 例6．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=x，均不相交.试证明对一切都有.[来源:学科网]‎ 分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．‎ 证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则 又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故 Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．‎ 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．‎ 简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．‎ 例7．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？‎ 解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得 5‎