2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020 年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 已知集合 知 集合 合 合 ，集合 知 集合合 知 ݔ ，则 为 A. 集 B. 集 C. 集ݔ D. 集1ݔǡ . 复数1 t kk的虚部为 A. 1 B. 1 C. i D. k 3. 在平行四边形 ABCD中， 知 3，㤵 知 ǡ，则 㤵 等于 A. 1 B. 7 C. 25 D. ǡ. 某市出租车起步价为 5元起步价内行驶里程为 3香，以后每 1香价格为 1.为元不足 1香 按 1香计价，则乘坐出租车的费用 元与行驶的里程 合香之间的函数图象大致为 ． A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有一题目：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：我羊食半马．马 主曰：我马食半牛．今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗， 禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：我羊所吃的禾苗只有马的一半．马主人说：我马所吃的 禾苗只有牛的一半，若按比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？在这个问题中，若禾苗 主人要求赔偿九斗粟，一斗粟相当于现在的 13.5斤，则牛主人赔偿的粟比羊主人与马主人赔偿 的粟之和还要多 A. 斤 B. 1为 斤 C. 135 1ǡ 斤 D. ǡ3 1ǡ 斤 6. 已知条件 p：合 t 1 ͳ ，条件 q：5合 6 ͳ 合，则￢是￢的 A. 充要条件 B. 充分但不必要条件 C. 必要但不充分条件 D. 既非充分也非必要条件 . 阅读程序框图，则该程序运行后输出的 k的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 为. 已知实数 合ݔ满足线性约束条件 合 ǡ 1 合t 合 3t 6 ，则 1 合 的最小值为 A. 1 3 B. 1 C. 1 D. 2 9. 已知抛物线 知 合 ͳ ，过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于 A，B两点，若线段 AB的 中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 A. 合 知 1 B. 合 知 1 C. 合 知 D. 合 知 1. 已知变量 x与 y的取值如表所示，且 .5 < < 香 < 6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能 是 x 2 3 4 5 y 6.5 m n .5 A. ∧ 知 .为合 t .3 B. ∧ 知 合 t .ǡ C. ∧ 知 1.5合 t 为 D. ∧ 知 1.6合 t 1 11. 已知 ǡ，点ݔ，ݔ3 C在圆合 香 t 知 1上运动，若 的面积的最小值为 5 ， 则实数 m的值为 A. 1 或 11 B. 11 或 1 C. 1 或 11 D. 11 或 1 1. 合是定义在 R上的奇函数，且当 合 ݔ t 时，合 知 16合 t log16合，则函数 合的零 点的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 13. 已知 ͳ ， 1，则 合 知 log 合t1 合1 的图象恒过点_____ 1ǡ. 在平面直角坐标系 xOy中，已知 的顶点 B、C恰好是双曲线 M： 合 9 16 知 1的左右焦点， 且顶点 A在双曲线 M的右支上，则 kk k 知 ______ ． 15. 已知球 O与棱长为 2的正方体 㤵 111㤵1的各棱都相切，则该球的表面积为______． 16. 在数列集中，1 知 ，t1 知 3，则5 知 ______ ． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 1. 某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的 20名学生的身高，其频率分布直方图如下单 位：香 1根据频率分布直方图，求出这 20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值 在身高为 1ǡ16的学生中任选 2个，求至少有一人的身高在 1516之间的概率． 1为. 在三角形 ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，且 k t݋3 k 知 3 ． 1求角 B的大小； 若 知 3，求 面积的最大值． 19. 如图所示，已知矩形 ABCD， 平面 ABCD， 于点 E， 于点 F． 1求证： ； 若平面 AEF交 SD于点 G，求证： 㤵． . 已知椭圆 C：合 t 知 1 ͳ ͳ 的左右焦点分别为1，，点 P在椭圆上，且1 1 知 ， 1 知 ǡ，1 知 5 5 ． 1求椭圆 C的标准方程； 经过点 的直线ݔ3 l和椭圆 C交于 A，B两个不同的点，设 AB的中点为 合ݔ，合ݔ， 求合 t 的取值范围． 1. 已知函数 合 知 合合． 1求 合在 1 3 ；3൭上的最大值与最小值ݔ 求证：合 合 t 1 3合 1． . 已知曲线 C的极坐标方程是 知 k，直线 l的参数方程是 合 知 3 5 t 知 ǡ 5 为参数.设直线 l 与 x轴的交点是 M，N是曲线 C上一动点，求 MN的最大值． 3. 已知 ݔݔ t，合 ，不等式合 1 合 t t 恒成立． 1求证： t t 1 3 ； 求证： t t t t t ． 【答案与解析】 1.答案：C 解析：解：集合 知 集合 合 合 知 集1ݔ，， 集合 知 集合合 知 ݔ 知 集2ݔ，ǡ， 知 集ݔ． 故选：C． 利用交集性质求解． 本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题． 2.答案：A 解析： 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解： 1 t kk 知 1 t k， 复数1 t kk的虚部为 1． 故选：A． 3.答案：D 解析： 本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力． 利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可． 解：在平行四边形 ABCD中， 知 3，㤵 知 ǡ， 知 t ，㤵 知 㤵 知 ， 则 㤵 知 t 知 知 9 16 知 ． 故选：D． 4.答案：B 解析： 本题考查分段函数图象，由实际问题抽象出函数图象、理解实际问题的变化与函数图象变化的对应 是解题的关键，本题采取了将实际问题的函数模型求出，再寻求函数图象的方法，理解本题中计费 的方式是解题的难点． 根据题意可知函数图象为分段的常数函数，观察图象即可直接判定． 解：出租车起步价为 5元起步价内行驶的里程是 3香， 3൭对应的值都是ݔ 5， 以后每 1km价为 1.为元，不足 1km按 1km计价， 3 < 合 ǡ时， 知 5 t 1.为 知 6.为，ǡ < 合 5时， 知 5 t 1.为 t 1.为 知 为.6， 故选：B 5.答案：D 解析： 本题主要考查数列的概念与表示和等比数列，属于基础题． 根据题意得1 t 1 t ǡ1 知 9，即可得． 解：羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为1，，3， 则这 3个数依次成等比数列，公比 知 ， 于是得1 t 1 t ǡ1 知 9， 解得1 知 9 ，知 1为 ，3 知 36 ， 故牛主人比羊主人与马主人赔偿的粟之和还多 9 斗， 即 9 13.5 知 9 知 ǡ3 1ǡ 斤， 故选 D． 6.答案：B 解析： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键． 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 解：p：合 t 1 ͳ ，得 合 ͳ 1或 合 < 3，￢： 3 合 1， q：5合 6 ͳ 合，即 q：合 5合t 6 < ，即 < 合 < 3，即￢：合 3或 合 ， 即￢是￢的充分不必要条件， 故选：B． 7.答案：B 解析：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 k S 循环前 0 0 第一圈 是 1 1 第二圈 是 2 3 第三圈 是 3 11 第四圈 是 4 2059 第五圈 否 故选：B． 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结 构，累加运算变量 S的值，并输出 1成立时，程序的执行次数． 本题考查的知识点是循环结构，在求程序的运行结果时，我们可采用模拟运行的方法，逐步分析程 序执行过程中各变量的取值，即可得到答案． 8.答案：B 解析： 本题考查线性规划问题，属于中档题． 根据条件画出可行域，得到如图所示的阴影部分．设 可得，1ݔ 知 1 合 表示 P与可行域内的点 Q 连线的斜率，得到 PQ斜率的最小值即可． 解：作出实数 x，y满足线性约束条件 合 ǡ 1 合t 合 3t 6 表示的平面区域： 得到如图所示的阴影区域，其中 设，ݔ1，ݔ 合ݔ为区域内的动点，可得 知 1 合 表示 P、Q连线的斜率，其中 ，1ݔ 运动点 Q，可得当 Q与 A点重合时， 知 1 是最小值， 故选：B． 9.答案：B 解析： 本题主要考查抛物线与直线的位置关系，属于一般题． 可以求出直线，联立求出 p，也可以利用点差法求解． 解：方法一：过焦点 且斜率为ݔ 1的直线方程为 知 合 ， 与抛物线方程联立可得 知 ， 知 为 ͳ ， 所以1 t 知 知 ǡ，所以 知 ， 故准线方程为 合 知 1． 方法二：设 合11ݔ，合ݔ， 、B两点在抛物线上， 1 知 合1 知 合 ， 得，1 1 t 知 合1 合， 又线段 AB的中点的纵坐标为 2， 1 t 知 ǡ， 又直线的斜率为 1， 1 合1合 知 1， 知 ǡ， 知 ， 抛物线的准线方程为 合 知 知 1． 故选 B． 10.答案：D 解析：解：由题意，合 知 3.5， 知 1 ǡ 6.5 t 香 t t .5 ，5.5ݔ3.5 由 .5 < < 香 < 6.5，可得为负相关，排除 A，B，代入选项 C，D， 可得 D满足． 故选：D． 由题意，合 知 3.5， 知 1 ǡ 6.5 t 香 t t .5 代入选项，可得，5.5ݔ3.5 A满足． 本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查． 11.答案：D 解析： 本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，能够将已知问题进 行巧妙地转化，是解决本题的关键，属于中档题． 由圆 合 香 t 知 1的圆心为香ݔ，半径为 1，过圆心作 AB所在直线的垂线，交圆于 C，此时 的面积最小，直线 AB的方程为 ǡ合 3t 1 知 ， 知 5，利用点到直线的距离公式求出 圆心到直线 AB的距离为 知 ǡ香t1 5 ，利用三角形的面积公式求出 知 1 5 ǡ香t1 5 1 ，即可求 出实数 m的值． 解：如图， 因为圆 合 香 t 知 1的圆心为香ݔ，半径为 1， 过圆心作 AB所在直线的垂线，交圆于 C， 此时 的面积最小， 直线 AB的方程为 ǡ合 3t 1 知 ， 知 5， 所以圆心到直线 AB的距离为 知 ǡ香t1 5 ， 知 1 5 ǡ香t1 5 1 知 5 ， 解得：香 知 1 或 香 知 11 ， 所以实数 m的值为 香 知 1 或 香 知 11 ． 故选 D． 12.答案：D 解析：函数 合在 合 ݔ t 上为单调递增函数，且当 合 时，16合 log16合ݔ1 ，即 存在合 ͳ 使得 合 < ，结合函数的单调性可知函数在 上有且仅有一个零点；因为函 数为奇函数，所以在 上也只有一个零点． 13.答案： ݔ 解析： 本题考查了对数函数图像的定点问题，属于中档题． 解：由对数函数性质可知，当 合t1 合1 知 1即 合 知 时， 知 ， 即函数图像过定点 ．ݔ 故答案为 ．ݔ 14.答案： 3 5 解析：解：由双曲线的方程得 知 9， 知 16， 知 9 t 16 知 5， 即 知 3， 知 5， 则 知 知 1， 顶点 A在双曲线 M的右支上， 知 知 6， 由正弦定理得 kk k 知 知 知 6 1 知 3 5 ， 故答案为： 3 5 根据双曲线的方程求出 a，c的值，结合正弦定理进行转化求解即可． 本题主要考查双曲线的方程和性质，根据定义以及正弦定理进行转化求解是解决本题的关键． 15.答案：为 解析：解：球 O与棱长为 2的正方体 㤵 111㤵1的各棱都相切， 球的直径就是正方体的面对角线的长． 球的半径为 ， 该球的表面积为：ǡ 知 为． 故答案为：为． 求出内切球的半径，即可求解球的表面积． 本题考查几何体的内切球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 16.答案： 13 解析：解： t1 知 3， t1 3 知 3， 1 知 ， 1 3 知 1 ， 数列集 3是以 1为首项，2为公比的等比数列， 3 知 1， 知 3 1， 5 知 3 16 知 13． 故答案为： 13． 由已知t1 知 3，可得t1 3 知 3，转化为利用等比数列的通项公式即可得出． 正确转化和熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 17.答案：1 ； ； ． 解析：试题分析：1中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，平均数 的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，由此可以估 计平均数的值；这 名学生中，身高在 之间的有 个，身高在 1516之间的有 人， 从中任选 人，共有 种不同的选法，而身高在 之间的只有一种选法，从而至少有一人 身高在 1516之间的有 种，从而求出其概率． 试题解析：1中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值， 所以中位数的估计值为 ． 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 则平均数的估计值为 ． 这 名学生中，身高在 之间的有 个，分别为 A，B，身高在 1516之间的有 人， 分别为 C，D，E，F，G，H， 则从这 人中任选 个的所有基本事件有 AB，AC，AD，AE，AF，AG，AH，BC，BD，BE，BF， BG，BH，CD，CE，CF，CG，CH， DE，DF，DG，DH，EF，EG，EH，FG，FH，GH共 个， 两个身高都在 之间的事件有 AB共 个， 所以至少有一个人在 1516之间的概率为 ． 考点：本题主要考查了频率分布直方图中对中位数、平均数的估计，以及古典概型概率计算公式． 18.答案：解：1由题意得 3k݋t sin 知 3 ，化简得 3 k 1 ݋ 知 1， sin 6 知 1，即可得 6 知 ， 知 3； 知 3， 知 3，由余弦定理得 ݋ 知 t3 知 1 ， 即可得 t 知 3 t ， 3， 知 1 k 1 3 3 知 3 3 ǡ ． 面积的最大值：3 3 ǡ ． 解析：1利用两角和与差的三角函数化简 k t݋3 k 知 3 .转化求解可得 B的大小． 利用余弦定理结合基本不等式求出 3，然后求解三角形的面积的最大值即可． 本题考查三角形的解法，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，基本不等式的应用，考查转 化思想以及计算能力，是基础题． 19.答案：证明：1 平面 AC， ． ，且 知 ， 平面 SAB， ， 又 ，且 知 ， 平面 SBC， ，且 ， 知 ， 平面 AEF， ； 平面 ABCD， 㤵， 又四边形 ABCD为矩形， 㤵 㤵， 㤵 平面 ADS， 㤵 ，由1得 平面 AEF，而 AG在平面 AEF上， ， 平面 SDC， 㤵． 解析：本题重点考查了空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质等 知识，属于中档题． 1首先，证明 平面 AEF即可，得到 ； 首先，证明 㤵 㤵，然后，得到 㤵 平面 ADS，再结合1，证明 平面 SDC，从而得到 㤵． 20.答案：解：1由 知 ǡ， 知 ， 由勾股定理丨 丨知 丨 1丨 t丨1丨 知 1 5 t 16 知 9 5 5 ， 由椭圆定义 知丨 1丨t丨 丨知 5 5 t 9 5 5 知 5， 知 5， 知 知 1， 故椭圆方程为： 合 5 t 知 1； 当直线与 x轴重合时，合ݔ，此时合 t 知 ， 若直线与 x轴不重合，设 l的方程为 合 知 香 t 3，与椭圆联立得香 t 5 t 6香 t ǡ 知 ， 由知 香 为香 ͳ ，解得：香 ͳ 或 香 < ， 由韦达定理：1 t 知 6香 香t5 ， 知 1t 知 3香 香t5 ， 知 合 t 知 香 t 3 t 知 香t 1 t 3 知 153香 香t5 知 3 1t3 ， 其中 知 5 香， 3ݔ ݔ t t 当 知 时， 知 ， 当 时， 知 3 1t3 知 3 t3 1 ， 设 知 t 3 1，其中 ݔ 3ݔ ݔ t ，函数图象知： 9 ݔ t ݔ 1 3，从而 知 3 153 3 1 ݔ ݔ 3 ， 综上 知 合 t 153 3 1 ݔ 3 . 解析：1由 知 ǡ， 知 ，根据勾股定理可知丨 丨知 9 5 5 ，由 知丨 1丨t丨 丨，求得 知 5，根据椭圆的性质 知 ，求得椭圆方程； 分类直线与 x轴重合时，合ݔ，此时合 t 知 ，当直线与 x轴不重合，设直线方程，将直 线方程代入椭圆方程，ͳ ，求得 m的取值范围，根据韦达定理及中点坐标公式， 知 1t 知 3香 香t5 ， 代入求得 知 合 t 知 3 1t3 ，根据 t的取值范围，构造辅助函数，根据函数图形求得 知 合 t 的取值范围． 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，构造法求函数的取值范围，考查计算能力， 属于中档题． 21.答案：解：1合的定义域是ݔ t ， 合 知 合 t 1， 令合 ͳ ，解得：合 ͳ 1 ， 令合 < ，解得： < 合 < 1 ， 故 合在 1 3 ݔ 1 递减，在 1 ，3൭递增ݔ 故 合香k 知 1 知 1 ，合香合 知 3 知 33； 要证 合 合 t 1 3合 1， 即证 合 合 t 1 ， 令 合 知 合 合 t 1，合 ͳ ， 合 知 1 合 1 知 1合 合 ， 令合 ͳ ，即 1 合 ͳ ，解得： < 合 < 1， 令合 < ，解得：合 ͳ 1， 故 合在1ݔ递增，在1ݔ t 递减， 故 合香合 知 1 知 ， 故 合 ，问题得证． 解析：本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值问题，考查函数恒成立问题，考查不等式的证明， 是中档题． 1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； 问题转化为证 合 合 t 1 ，令 合 知 合 合 t 1合 ͳ ，根据函数的单调性求出 合的最 大值，从而证明结论即可． 22.答案：解：曲线 C的极坐标方程可化为 知 k.又合 t 知 ，合 知 ，݋ 知 k， 曲线 C的直角坐标方程为合 t 知 ． 将直线 l的参数方程消去 t化为直角坐标方程： 知 ǡ 3 合 ， 令 知 ，得 合 知 ，即 M点的坐标为ݔ.又曲线 C的圆心坐标为1ݔ， 半径 知 1，则ܯ 知 5， 䁥ܯ ܯ t 知 5 t 1． 解析：利用合 t 知 ，合 知 ，݋ 知 k，可把曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程．将 直线 l的参数方程消去 t化为直角坐标方程： 知 ǡ 3 合 ， 令 知 ，可得 M点的坐标为ݔ.利用ܯ䁥 ܯ t 即可得出． 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题． 23.答案：证明：Ⅰ 合 1 合 合 1 合 t 知 1， t t 1． t ， t ， t ， t t t t ， 3 t 3 t 3 t t t t t 知 t t 1， t t 1 3 ． Ⅱ t ， t t t 知 t ， 即 t t 两边开平方得 t t 知 t ， 同理可得 t t ݔ t t ， 当且仅当 知 知 时，等号成立． 三式相加，得 t t t t t t t ． 解析：本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式，属于中档题． Ⅰ由已知， t t 1，再利用基本不等式即可得证； Ⅱ分析可知 t t ， t t ݔ t t ，三式相加即可得证．