浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积课件

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浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积课件

第 2 节 空间几何体的表面积与体积 考试要求  了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 . 知 识 梳 理 1 . 多面体的表 ( 侧 ) 面积 多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和 . 2 . 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 = —— S 圆锥侧 = —— S 圆台侧 = ————— 2π rl π rl π( r 1 + r 2 ) l 3. 柱、锥、台和球的表面积和体积 Sh 4π R 2 [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡 . 2. 求空间几何体体积的常用方法 (1) 公式法:直接根据相关的体积公式计算 . (2) 等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等 . (3) 割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体 . 解析  (1) 锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一,故不正确 . (2) 球的体积之比等于半径比的立方,故不正确 . 答案  (1) ×   (2) ×   (3) √   (4) √ 解析   S 表 = π r 2 + π rl = π r 2 + π r ·2 r = 3π r 2 = 12π , ∴ r 2 = 4 , ∴ r = 2(cm). 答案   B 3. (2020· 北京通州期末 ) 某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中面积最小的侧面面积为 (    ) 答案  B 4. (2018· 浙江卷 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位: cm) ,则该几何体的体积 ( 单位: cm 3 ) 是 (    ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案  C 5. (2019· 江苏卷 ) 如图,长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的体积是 120 , E 为 CC 1 的中点,则三棱锥 E - BCD 的体积是 ________. 答案  10 6. (2020· 杭州质检 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位: cm) ,则该几何体的体积是 ________cm 3 ;表面积是 ________cm 2 . 答案  288 - 24π   264 + 12π 【例 1 】 (1) (2020· 温州适应性测试 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位: cm) ,则该几何体的表面积是 (    ) 考点一 空间几何体的表面积 (2) (2020· 浙江新高考仿真卷五 ) 圆柱 被一个平面截去一部分后与半球 ( 半径为 r ) 组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 . 若该几何体的表面积为 16 + 20π ,则 r = (    ) A.1          B.2 C.4 D.8 答案  (1)D   (2)B 规律方法  空间几何体表面积的求法 . (1) 以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 . (2) 多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理 . (3) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . 【训练 1 】 (1) 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是 ________. (2) (2020· 浙江新高考仿真卷一 ) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为 “ 阳马 ” . 现有一 “ 阳马 ” P - ABCD ,已知其体积为 8 , AB = 2 , BC = 3 ,则该 “ 阳马 ” 的最长侧棱长为 ________ ,表面积为 ________. 考点二 空间几何体的体积 【例 2 】 (1) ( 一题多解 ) 如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 (    ) A.90π B.63π C.42π D.36π (2) (2019· 北京卷 ) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示 . 如果网格纸上小正方形的边长为 1 ,那么该几何体的体积为 ________. 答案  (1)B   (2)40 规律方法  空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解 . (2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 . (3) 若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解 . 【训练 2 】 (1) (2019· 浙江卷 ) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的 “ 幂势既同,则积不容异 ” 称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体 = Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高 . 若某柱体的三视图如图所示 ( 单位: cm) ,则该柱体的体积 ( 单位: cm 3 ) 是 (    ) A.158 B.162 C.182 D.324 考点三 最值问题 【例 3 】 (1) (2016· 浙江卷 ) 如图,在 △ ABC 中, AB = BC = 2 , ∠ ABC = 120°. 若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ,满足 PD = DA , PB = BA ,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 ________. 解析   (1) 设 PD = DA = x ,在 △ ABC 中, AB = BC = 2 , ∠ ABC = 120° , 要使四面体体积最大,当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大,而 P 到平面 BCD 的最大距离为 x . (1)          (2) 规律方法  常用方法是将几何图形展开为平面图形,利用几何性质求解或利用函数或不等式求最值 . 【训练 3 】 (1) (2020· 上海徐汇区一模 ) 如图,棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 为 CC 1 的中点,点 P , Q 分别为面 A 1 B 1 C 1 D 1 和线段 B 1 C 上的动点,则 △ PEQ 周长的最小值为 (    ) (2) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 某圆柱的高为 2 ,底面周长为 16 ,其三视图如图 . 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为 (    ) 答案  (1)B   (2)B
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