上海市上海市三林中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

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上海市2019-2020学年三林中学高二上学期数学10月份考试 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每小题对得3分，否则一律不得分）‎ ‎1.数1与9的等差中项是_____.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若、、成等差数列,则,称为、的等差中项,由题,故,解出即可 ‎【详解】设等差中项为,则,‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题考查等差中项概念,属于基础题 ‎2.数列满足，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 递推公式为,故用累乘法求得数列的通项公式,令,即可求解 ‎【详解】由题,当时,,,,…, ‎ 用累乘法可得,‎ 即,‎ 当时,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式,考查累乘法求通项公式,考查求数列的某一项 ‎3.数列的前四项为，则该数列的一个通项公式为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察数列,奇数项为非负数,偶数项为负数；分母为,分子为,将这些特征整理即可 ‎【详解】由题,,,,,会发现奇数项为非负,偶数项为负,故用来处理,即该数列的通项公式为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查归纳、猜想的应用问题,解题时应观察数列各项的特征,通过归纳猜想,即可得出该数列的一个通项公式 ‎4.等差数列中，，，，则_____‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入等差数列通项公式中,求得,即得到通项公式,再将代入通项,求得即可 ‎【详解】设,,,‎ 通项公式为,当时,即,‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查定义法求等差数列通项公式,考查等差数列的某一项,属于基础题 ‎5.数列满足，则其通项公式________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推公式可得数列是以1为首项,3为公比的等比数列,根据等比数列定义求出通项公式即可 ‎【详解】由题知,数列是以1为首项,3为公比的等比数列,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查定义法求等比数列通项公式,属于基础题 ‎6.等差数列中，表示其前n项和，若，则___________‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列前项和的性质,、、仍成等差数列,将值代入即可求解 ‎【详解】是等差数列,、、仍成等差数列,根据等差中项可得,,即, ‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的性质的应用,考查等差中项,属于基础题 ‎7.数列的前项为，则此数列的通项公式为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用公式法求数列的通项公式,分别讨论当和当的情况,最后要检验 ‎【详解】当时,；‎ 当时,,‎ 检验,当时,,符合 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查公式法求数列的通项公式,方法如下：‎ ‎（1）当时,；‎ ‎（2）当时,；‎ ‎（3）检验,当时,代入（2）中的后判断是否与（1）中值一致,若符合,则；若不符合,则 ‎8.公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，则其公比为____________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比中项可得,且等差数列,故为,可得到,则,均用来表示,进一步求得公比 ‎【详解】由题,可得 等差数列,‎ ‎,即,‎ ‎,,即 ‎,‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查求等比数列的公比,等比中项,考查等差数列通项公式的应用 ‎9.等差数列中，其公差，且满足，则该数列的通项公式为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且得到,代入中求与后整理即可 ‎【详解】且 或 又,是递减数列,，‎ ‎ ， ‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查定义法求等差数列通项公式,考查由公差判断等差数列的单调性,考查解二元一次方程组 ‎10.等差数列中，表示其前n项和，则____________‎ ‎【答案】810‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的前项和公式为,将、分别用其表示代入等式中,整理可得,根据等差数列的性质,即得结果 ‎【详解】等差数列,表示其前n项和 ‎,‎ ‎,‎ ‎,即 故答案为：810‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和公式的两种形式,考查等差数列的性质,考查运算能力 ‎11.设数列满足，则_____‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式,得到,,,,,故周期为6,由周期性可得,即可得到结果 ‎【详解】由题, ,,,,,,‎ 余3,即 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查数列周期性,考查数列递推公式,考查运算能力 ‎12.设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），关于数列{an}有下列三个命题：‎ ‎①若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an+1；‎ ‎②若Sn＝an2+bn+c（a、b、c∈R），则数列{an}是等差数列；‎ ‎③若Sn＝1﹣（﹣2）n，则数列{an}是等比数列．‎ 其中，真命题的序号是_____‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①易得既是等差数列又是等比数列的是非0常数列；②③利用公式法证明其结论的正确性 ‎【详解】①既是等差数列又是等比数列的是一个非0常数列,则有,故是真命题；‎ ‎②当时,‎ 则,‎ ‎,，‎ ‎ ‎ 当时,，,,‎ ‎,‎ 若,则当且仅当时,数列为等差数列,题中,故为假命题；‎ ‎③当时,,,,则；‎ 当时,,，,,‎ 数列是以为首项,为公比的等比数列,故为真命题 故答案为：①③‎ ‎【点睛】本题考查对常数列的认知,考查等差数列,等比数列的证明 二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律不得分）‎ ‎13.等比数列中，表示其前n项和，若，则（ ）‎ A. 210 B. 120 C. 121 D. 111‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和的性质,、、仍成等比数列,将值代入即可求解 ‎【详解】由题, 等比数列,则有、、仍成等比数列,‎ 由等比中项可得,即 故选：D ‎【点睛】本题考查等比数列前项和的性质的应用,属于基础题 ‎14.满足等式的正整数（ ）‎ A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察可得,等式左侧分式的分母为连续偶数求和,分子为连续奇数求和,利用等差数列前项和公式整理分式,求解即可 ‎【详解】由题,等式左侧分式分子为；分母为,原式,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的公式的应用,属于基础题 ‎15.某工厂去年12月份的月产量为a，若该厂产量月平均增长率为P，则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 今年12月份的月产量为,增加比率应为：（今年产量去年产量）去年产量,将式子代入整理即可 ‎【详解】由题,今年12月份的月产量为,则增加的比率为 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列在实际生活中的应用,属于基础题 ‎16.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得（ ）‎ A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立 C. 当时，该命题成立 D. 当时，该命题不成立 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：“当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立”它的逆否命题为“当时该命题不成立，那么当时该命题也不成立”，因为它们同真，所以当时该命题不成立，那么可推得当时，该命题也不成立，故选择D.‎ 考点：四种命题和数学归纳法.‎ 三、解答题：（本大题共有6题，满分52分，每题必须写出必要的解题步骤）‎ ‎17.在1，x，9，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求x，y的值 ‎【答案】,或,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项可得；根据等差数列可得,求解即可 ‎【详解】由题, ,或 ‎ 即当时,；当时,‎ ‎【点睛】本题考查等差中项、等比中项的应用,考查运算能力 ‎18.用数学归纳法证明：‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数学归纳法证明分两步进行:①当时证明不等式左右两边相等;②假设当时等式成立,应用此结论证明当时等式也成立即可.‎ ‎【详解】①当时 左边,右边 所以左边=右边,等式成立.‎ ‎②假设当时等式成立,即 则当时,‎ 即当时等式也成立 由①②可知, 对任意正整数都成立 ‎【点睛】本题考查了数学归纳法在证明等式中应用,注意证明的格式和步骤,对假设成立等式的应用是关键,属于中档题.‎ ‎19.在正数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝2an﹣1，‎ ‎（1）求a1的值；‎ ‎（2）求{an}的通项公式.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时,；‎ ‎（2）当时,，即用公式法求解通项公式 ‎【详解】（1）当时,,‎ ‎（2）当时,,即 是首项为1,公比为2的等比数列,‎ ‎【点睛】本题考查求数列首项,考查公式法求通项公式,考查等比数列通项公式 ‎20.数列为等差数列，设 ‎（1）证明数列为等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的通项公式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当数列的公差时，求数列的前n项和的最大值 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）借助等差数列的定义来证明即可；‎ ‎（2）利用等比中项先求得,代入得到关于的方程,解出,由得到,再将代回中求得,整理后即得到数列的通项公式 ‎（3）由题, ,找到符合时的值,即找到最大时的值,再代入等差数列的前项和公式即可求解 ‎【详解】（1）证明：数列为等差数列,设 又 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,,即数列是以为首项,为公比的等比数列 ‎（2）解：由（1）可知,‎ ‎,即,或 当时,即,,此时,，‎ 当时,即,,此时,,‎ 综上,或 ‎（3）,‎ 令,即,,‎ ‎，,‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明,等差数列的通项公式以及等差数列前项和的最值问题 ‎21.设正数列的前n项和为，其满足：‎ ‎（1）试求的值；‎ ‎（2）利用：当时，证明：数列为等差数列；‎ ‎（3）求数列的通项公式。‎ ‎【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用当时,来求解；‎ ‎（2）将用表示,整理即可得证；‎ ‎（3）由（2）得到的表达式,再利用当时,,检验当时,符合即可.‎ ‎【详解】（1）由题,当时,,,即或 正数列,,, ‎ ‎（2）当时,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 则,‎ ‎,即 是以1为首项,1为公差的等差数列 ‎（3）由（2）得: ,,又当时,‎ 检验,当时,,符合,‎ 故 ‎【点睛】本题考查等差数列的证明,‎ 构造数列求通项公式,使用公式法求通项公式时需注意检验,考查运算能力及逻辑推理能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎