高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件
§1.2 充分条件与必要条件
【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)
某些命题的条件关系．
1．如果已知“若 p，则 q”为真，即 p⇒q，那么我们说 p是 q的__________，q是 p的
__________．
2．如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作________．这时 p是 q的____________条件，简
称________条件，实际上 p与 q互为________条件．如果 p q且 q p，则 p是 q的
________________条件．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设 p：x<－1或 x>1；q：x<－2或 x>1，则綈 p是綈 q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设集合 M＝{x|0
b________ac2>bc2；
(2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－20)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
三、解答题
10．下列命题中，判断条件 p是条件 q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设 x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是 xy≥0.
12．已知 P＝{x|a－40”⇒“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．A [∵q⇒p，∴綈 p⇒綈 q，反之不一定成立，因此綈 p是綈 q的充分不必要条件．]
3．B [因为 N M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
4．A [把 k＝1代入 x－y＋k＝0，推得“直线 x－y＋k＝0与圆 x2＋y2＝1相交”；但“直线
x－y＋k＝0与圆 x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0与圆 x2
＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l⊥α⇒l⊥m且 l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以 l⊥m且
l⊥n不能得到 l⊥α.]
6．B [当 a<0时，由韦达定理知 x1x2＝
1
a
<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合
题意；当 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负数根时，a可以为 0，因为当 a＝0 时，该方程仅有
一根为－
1
2
，所以 a不一定小于 0.由上述推理可知，“a<0”是“方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有
一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) (2)⇒
8．a>2
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即 a>2.
9．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－
b
2a
≤1，即 b≥－2a时，函数 y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)
上单调递增．
10．解 (1)∵|x|＝|y| x＝y，
但 x＝y⇒|x|＝|y|，
∴p是 q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形 △ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形 △ABC是直角三角形．
∴p既不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形．
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p是 q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果 xy≥0，则有 xy＝0和 xy>0两种情况，当 xy＝0时，不妨设 x
＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当 xy>0时，即 x>0，y>0，或 x<0，y<0，
又当 x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当 x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当 xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且 x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即 x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1
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