四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学(文)试题（解析版）

四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学(文)试题（解析版）

绵阳市高中2019届高三第二次诊断性考试文科数学 一、选择题（60分）‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ z＝＝－i ‎2.己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B={x ｜＞1｝，则A∩B＝( )‎ A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {3，4} D. {4}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B，由此能求出A∩B．‎ ‎【详解】＞1＝，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中，大于1的有：{2，3，4} ，‎ 故A∩B＝{2，3，4} .‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为( )‎ A. 0 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m＝35，求出m的值．‎ ‎【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，‎ 乙班成绩：30、30、30+m、35、40，‎ 因为中位数相同，所以30+m＝35，解得：m＝5‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题．‎ ‎4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．‎ ‎【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行， ‎ 反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，‎ 所以，必要性不成立，‎ ‎∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5.直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算圆心到直线的距离d，由此能求出弦长AB,在三角形AOB中利用三边可得∠AOB．‎ ‎【详解】∵圆心O（0，0）到直线x＋y－2＝0的距离d，可得AB＝2,‎ 所以∠AOB＝90°，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎6.设是互相垂直的单位向量，且（＋）⊥（＋2），则实数的值是（ ）‎ A. 2 B. －2 C. 1 D. －1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出λ．‎ ‎【详解】依题意，有：｜a｜＝｜b｜＝1，且a•b＝0，‎ 又（a＋b）⊥（a＋2b），所以，（a＋b）（a＋2b）＝0，即 a2＋2b2＋（2＋1）a•b＝0，即＋2＝0，所以，＝－2‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.‎ ‎7.执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为（ ）‎ A. 1 B. －1 C. D. －‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出a，即可得到结论．‎ ‎【详解】由a＝，b＝，a＞b，‎ 则a变为﹣＝1，‎ 则输出的a＝1．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．‎ ‎8.若函数的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为（ ）‎ A. （－∞，4） B. （－∞，4］ C. （4，＋∞）　　　D（0,4）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件得到k＝f'（x）对x>0恒成立，所以b<（）min，即可b的取值范围．‎ ‎【详解】，‎ 则有k＝f'（x）对x>0恒成立，‎ 所以b<（）min，又 当x＝时，取得最小值4，所以b<4．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了函数的最小值的求法，属于基础题．‎ ‎9.已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．‎ ‎【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），‎ ‎∴y1+y2＝p，‎ 又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．‎ ‎10.已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：的左右焦点，点F2关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.‎ ‎【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，‎ AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，‎ 所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）‎ A. P1•P2＝ B. P1＝P2＝ C. P1+P2＝ D. P1＜P2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.‎ ‎【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321‎ 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；‎ 方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；‎ 所以P1+P2＝‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.‎ ‎12.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是（ ）．‎ A. B. ［9，25］ C. D. ［3，5］‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．‎ ‎【详解】椭圆C：的右焦点F（2，0），‎ 左焦点为F'（﹣2，0），‎ 由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，‎ 即|PF'|＝2﹣|PF|，‎ 可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，‎ 由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，‎ 可得﹣2≤8﹣2≤2，‎ 解得，所以,①‎ 又A在椭圆内，‎ 所以,所以8m-16-2，由此求得x的取值范围．‎ ‎【详解】根据f（x）＝ex﹣e﹣x．在R上单调递增，且f（-x）＝e﹣x﹣ex =- f（x），得f（x）为奇函数，f(3x一1)＞-f(2)=f(-2)，3x一1>-2，解得，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．‎ ‎16.已知点P是椭圆C：上的一个动点，点Q是圆E：上的一个动点，则｜PQ｜的最大值是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆E：x2+（y﹣4）2＝3可得圆心为E（0，4），又点Q在圆E上，可得|PQ|≤|EP|+．设P（x1，y1）‎ 是椭圆C上的任意一点，可得9．于是|EP|2．由于，利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】由圆E：x2+（y﹣4）2＝3可得圆心为E（0，4），又点Q在圆E上，‎ ‎∴|PQ|≤|EP|+|EQ|＝|EP|+（当且仅当直线PQ过点E时取等号）．‎ 设P（x1，y1）是椭圆C上的任意一点，‎ 则，即9．‎ ‎∴|EP|29．‎ ‎∵，∴当y1＝﹣时，|EP|2取得最大值27，即|PQ|=．‎ ‎∴|PQ|的最大值为．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22. 23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.设数列｛｝的前n项和为Sn，已知3Sn=4－4，．‎ ‎（1)求数列｛｝的通项公式；‎ ‎ (2）令，求数列｛｝的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；‎ ‎（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．‎ 详解：（1）∵ ①‎ 当时，，∴‎ 当时， ②‎ 由①-②得：‎ ‎∴‎ ‎∴是以为首项，公比为的等比数列 ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．‎ ‎18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：‎ ‎(1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程。‎ ‎(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎ 注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为.‎ ‎【答案】（1）；（2）可靠.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数，把和x，y的平均数，代入求的公式，求出的值，即可得线性回归方程．‎ ‎（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为8和8.5时的y的值，把预报的值同原来表中所给的8和8.5对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程可靠．‎ ‎【详解】（1），． ‎ ‎ ∴ =5， ‎ ‎，∴ ．∴ ∴ y关于x的线性回归方程为.‎ ‎（2）当x=8时，．满足|74-73|=1<2，当x=8.5时，．满足|75-75|=0<2，∴ 所得的线性回归方程是可靠的．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查了线性回归分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，属于基础题．‎ ‎19.△ABC的内角A. B. C的对边分别为a，b，c，己知＝b（c－asinC）。‎ ‎（1)求角A的大小；‎ ‎ (2）若b＋c＝，，求△ABC的面积。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得ccosA=c-asinC．由正弦定理得sinA+cosA=．化简得sin(A+)=，解得A即可.‎ ‎（2）由余弦定理得3=b2+c2-bc，即3=(b+c)2-3bc，又b+c=，解得bc=.可求△ABC面积.‎ ‎【详解】（1）∵ ，‎ ‎∴ cbcosA=b(c-asinC)，‎ 即ccosA=c-asinC．由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC，‎ ‎∵ sinC0，‎ ‎∴ cosA=-sinA，即sinA+cosA=．‎ 所以sinA+cosA=，即sin(A+)=．‎ ‎∵ 00时， 函数在(0，)上单调递增，函数在(，+∞)上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，对m分类讨论，解得导函数大于0及小于0的范围，即可得到单调性．‎ ‎（2）由条件可将问题转化函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.分析可得0e．令，则t∈．由，解得 构造，t∈，利用导函数转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为(0，+∞).‎ 由已知可得．‎ 当m≤0时，>0，故在区间(0，+∞)上单调递增； ‎ 当m>0时，由>0，解得；由 0，解得．‎ 所以函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减. ‎ 综上所述，当m≤0时，函数在区间(0，+∞)上单调递增；‎ 当m>0时， 函数在(0，)上单调递增，‎ 函数在(，+∞)上单调递减. ‎ ‎（2）∵ 函数g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，‎ 显然x=e是其零点，‎ ‎∴ 函数存在两个零点，即有两个不等的实数根．‎ 可转化为方程在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根，‎ 即函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴ 由>0，解得，故在上单调递增；‎ 由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；‎ 故函数y=m的图象与的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上，‎ 即lnx-mx=0的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上，‎ ‎∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0e． ‎ 令，则t∈．‎ 由，解得 ‎ 故，t∈．‎ 令，则．‎ 令，则．‎ 所以在区间上单调递增，即>． ‎ 所以，即在区间上单调递增，‎ 即≤=，‎ 所以，即x1x3≤，‎ 所以x1x3的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22, 23题中任选一题做答。如果多做．则按所做的第一题记分。‎ ‎22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线θ＝与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值。‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程，再将其化为极坐标方程． ‎ ‎（2）将代入中，求得|OM|，将代入中，得，得到|OP||OQ|=5．再根据|OM||OP||OQ|=10，解得t值即可.‎ ‎【详解】（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，‎ 即． ∵ ，，‎ 故曲线C的极坐标方程为． ‎ ‎（2）将代入中，得，则．‎ ‎∴ |OM|=．将代入中，得．‎ 设点P的极径为，点Q的极径为，则． 所以|OP||OQ|=5．又|OM||OP||OQ|=10，则5=10．∴ t=或 ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎23.已知函数 ‎（1）m＝1时，求不等式f（x－2）+f（2x）＞4的解集；‎ ‎（2）若t＜0，求证：≥．‎ ‎【答案】（1）{x|x<0或x>2}；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将不等式|x-3|+|2x-1|>4去绝对值 ，按当x≥3、及x≤分三类分别解不等式.‎ ‎（2）由绝对值三角不等式直接证明.‎ ‎【详解】（1）由m=1，则|x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|>4的解集．‎ 当x≥3时，|x-3|+|2x-1|=3x-4>4恒成立；‎ 当 时，x+2>4，解得x>2，综合得；当x≤时，4-3x>4，解得x<0，综合得x<0；所以不等式的解集为{x|x<0或x>2}．‎ ‎（2）∵ t<0，‎ ‎∴ ≤==．所以≥．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式的应用，考查了不等式的证明，难度中档．‎