海南省海口市第四中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

海南省海口市第四中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

www.ks5u.com 海口四中2022届高一第一次月考——数学 考试内容：初高中衔接、必修第一册第一章、第二章 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定集合中的元素，然后根据交集定义求解．‎ ‎【详解】，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，运算时必须先确定集合中的元素．‎ ‎2.已知，是一元二次方程的两个实根，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用韦达定理求出两根和与积，再代入计算．‎ ‎【详解】由题意，，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．‎ ‎3.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 否定结论，并把存在量词改为全称量词．‎ ‎【详解】命题“，”的否定是“，”，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除要否定结论外还必须把全称量词改为存在量词．‎ ‎4.已知二次函数的图象如下图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由二次函数顶点确定的正负，然后再分析一次函数与反比例函数的图象的位置。‎ ‎【详解】由题意已知二次函数图象的顶点是在第四象限，∴，函数是增函数，且直线的纵截距为负，可排除A、D，又，函数的图象在二、四象限，可排除B，只有C正确。‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查二次函数、一次函数和反比例函数的图象，解题时由已知图象分析参数的取值范围，本题中只要分析的正负，然后根据参数的范围确定其他函数图象可能的位置。‎ ‎5.如果，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．‎ ‎【详解】由于，不妨令，，可得 ，，故不正确．‎ 可得，，，故不正确．‎ 可得，，，故不正确．‎ ‎，故D正确.‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．‎ ‎6.数“”为无理数的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. 为无理数 B. 为无理数，为有理数 C. 为无理数，为无理数 D. 为无理数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件的定义判断。分别由A、B、C、D作为条件去推导“是无理数”是否为真命题，确定充分条件，再由是无理数推导A、B、C、D四个结论是否为真确定是否是必要的。‎ ‎【详解】是无理数时，不一定是无理数，如，A不是充分条件；‎ 为无理数，为有理数时，一定是无理数，但时，是无理数，是无理数，B是充分不必要条件。‎ 时，都是无理数，但是有理数，C不是充分条件；‎ 与同时是无理数，同时是有理数，D是充要条件。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础。‎ ‎7.已知两个正数a，b满足，则的最小值是　　‎ A. 23 B. 24 C. 25 D. 26‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，正数a，b满足，‎ 则，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 即的最小值是25．‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎8.已知，则，，则和的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. 与和的取值有关 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作差与0比较后可得结论。‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，∴。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查实数的大小比较，作差法是比较两实数大小的常用方法。‎ 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的五个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分．‎ ‎9.下面表示同一个集合的是（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ E. ，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别分析各选择支中两个集合中的元素是哪些即可判断。‎ ‎【详解】A中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一集合；‎ B中集合中元素是点，集合中元素是点，不相同，不是同一集合；‎ C中两个集合都是由都是所有奇数组成的，是同一集合；‎ D中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一集合；‎ E中两个集合中有元素0，不含任何元素，不是同一集合。‎ 故选：ACD。‎ ‎【点睛】本题考查集合的概念，判断两个集合相等，解题方法是判断两个集合中的元素是否相同即可。对稍微复杂的集合必须证明且才能说明。‎ ‎10.下列说法正确的是（ ）‎ A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的既不充分也不必要条件 C. 若“”是“”的充分条件，则 D. “”是“（，）”的充要条件 E. “一元二次方程无解”的必要不充分条件是“恒成立”‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据充分必要条件的定义对每一个命题进行判断。‎ ‎【详解】时，由不能得出，A错；‎ 与相互不能推导，如时但不满足，反之若，满足但不满足，∴“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确；‎ 由充分必要条件与集合之间的包含关系可知正确；‎ 能得出，当时，，但，D错；‎ ‎“一元二次方程无解”时，可能是恒成立也可能是恒成立，因此题中不充分是对的，但“恒成立”，不一定是一元二次方程，必要性是错误的，E错。‎ 故选：BC。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础。‎ ‎11.下列关于基本不等式的说法，正确的是（ ）‎ A. 若，，则成立 B. 对任意的，，成立 C. 若，，则不一定成立 D. 若，则成立 E. 若，则成立 ‎【答案】ABE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式的条件分析。‎ ‎【详解】A就是均值不等式，正确；由知B正确；由A知C错误；当时，，但，D错误；由A知E正确。‎ 故选：ABE。‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式，掌握基本不等式成立的条件是解题关键。均值不等式中，但对也不影响结论的成立。‎ ‎12.设为实数集的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（ ）‎ A. 自然数集为封闭集 B. 整数集为封闭集 C. 集合为整数为封闭集 D. 若为封闭集，且，则一定为无限集 E. 若为封闭集，则一定有 ‎【答案】BCDE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的新定义判断每个命题是否为真。‎ ‎【详解】A．自然数集不是封闭集，如，但，A错；‎ B．任意两个整数的和、差、积仍然是整数，整数集是封闭集，B正确；‎ C．集合为整数为封闭集，设，，则，，，C正确；‎ D．若为封闭集，且，则，，因此，依此类推，所有整数都属于，而整数是无数个，所以一定为无限集，D正确；‎ E．若为封闭集，设，则，E正确．‎ 故选：BCDE．‎ ‎【点睛】本题考查集合的新定义，考查学生的创新意识．解题关键是正确理解新概念，要证明新定义下的命题为真，要说明是封闭集，实质就是在时，证明。‎ 三、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上．‎ ‎13.设是平行四边形}，{是邻边相等的四边形}，则 __________．‎ ‎【答案】{是菱形}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按交集定义运算。‎ ‎【详解】由题意是平行四边形且是邻边相等的四边形是菱形．‎ 故答案为：是菱形．‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，掌握交集定义是解题基础。‎ ‎14.设集合，若，则实数取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合是方程的解集，要先讨论最高次项系数是否为0的情形。‎ ‎【详解】时，方程为－1＝0，不成立，无解，‎ 时，方程无解，则，，‎ 综上，。∴的取值范围是 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查空集的概念，实质考查方程无实数解的条件，易错点在于不分类讨论即不考虑的情形，直接由得结论。‎ ‎15.用列举法表示集合是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，且，则取值只能为，求出对应的可得集合中的各元素，被4除余1的整数可表示为（）形式．‎ ‎【详解】由题意，所有被4除余1的整数组成的集合为．‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查集合的表示法．集合的表示法有列举法，描述法，图示法．‎ ‎16.命题“”是真命题，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离参数为，只要求得的最大值即可．‎ ‎【详解】由，得，的最大值为0，‎ ‎∵，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查存在命题为真时求参数取值范围问题，本题实质是不等式能成立问题，解题时要与不等式恒成立（即全称命题）区别开来，不等式恒成立与能成立，前者是，后者是．‎ ‎17.设，，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 凑配出可用基本不等式求最值的形式，即凑配出积为定值的式子．‎ ‎【详解】，‎ 当且仅当时取等号．∴的最小值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出“积为定值”的式子．‎ 四、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的问题说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.已知全集，设集合，集合，‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若集合只有一个元素，求的值；‎ ‎（3）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）=；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据集合的补集和交集的定义运算；‎ ‎（2）中只有一个元素，必须有；‎ ‎（3）等价于，由子集的定义可求解，但要注意的情形．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 所以，所以=；‎ ‎（2）集合只有一个元素，仅当时，所以，此时；‎ ‎（3）由，则，‎ 当，即时，，符合题意；‎ 当时，，则，‎ ‎ 解得，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，在集合的包含关系中要注意空集是任何集合的子集，不能遗忘．‎ ‎19.（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？‎ ‎（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？‎ ‎【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；‎ ‎（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．‎ ‎【详解】设两个正数为a，b ‎（1），则，当且仅当等号成立，‎ 即a=b=6时，它们的和最小，为12.‎ ‎（2），则当且仅当等号成立 ‎ 即a=b=9时，它们的积最大，为81.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．‎ ‎20. （1）已知，比较与的大小；‎ ‎（2）已知，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）的最小值为3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作差后与0比较；‎ ‎（2）由，可变形为，这样可用基本不等式求得最小值．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）则，‎ 当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为3.‎ ‎【点睛】本题考查比较两个实数大小，考查用基本不等式求最值．对两个实数，常常用作差法比较它们的大小．如果是两个正数，也可用作商法比较大小．‎ ‎21.△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明两个命题为真：一个是由是的角平分线证明，一个是由证明是的角平分线．‎ ‎【详解】证明：设：是的角平分线，：．‎ 如图，过点作//交的延长线与点，‎ ‎（1）充分性（）：若，则，所以，所以，又△∽△，所以，所以．‎ ‎（2）必要性 （）：反之，若，则∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．‎ ‎ 由（1）（2）可得，是的角平分线的充要条件是．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明是的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：，必要性：．‎ ‎22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点，交轴与点，抛物线的一条弦与轴正半轴交于点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点是线段中点时，求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，写△的外心（外接圆的圆心）的坐标，并说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）的外接圆的圆心为原点，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将坐标代入中可解得；‎ ‎（2）设，，由是中点及，先求得，从而得，最后可得；‎ ‎（3）由可知是的外心．‎ ‎【详解】（1）将坐标代入中，得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(2)在轴上，设点 ‎ 而是的中点，则，‎ 而在抛物线上，，‎ ‎.‎ ‎（3）当时，，则，‎ ‎，‎ 的外接圆的圆心为原点.‎ ‎【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的图象与性质．已知二次函数图象过两点，而函数解析式中只有两个参数，因此代入两点坐标就可求得解析式．‎ ‎23.某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为小时，则生产1000台某产品的总加工时间y是一个关于x的函数。‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）如何分配工人才能使生产1000台某产品的总加工时间最少？‎ ‎【答案】（1）；（2）当加工甲装置工人为时，乙装置工人时，总加工时间最少.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）1000台产品中共有9000个甲型装置，3000个乙型装置，因此人加工完甲型装置的时间为，而剩下的个加工完乙型装置的时间为，两者相加即得总的加工时间．注意且；‎ ‎（2）从的表达式中可以看出，通过凑配法凑出定值后可求得最小值．，然后应用基本不等式可求得最小值．‎ ‎【详解】(1)‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以，当加工甲装置工人为时，乙装置工人时，总加工时间最少.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式实际应用，解题关键是求出总加工时间关于的函数式．然后用凑配法配出可用基本不等式求最小值时形式（积为定值）后求得最小值．‎ ‎ ‎