【数学】2020届一轮复习苏教版对数函数学案
§2.7 对数函数
考情考向分析 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主，考查形式主要是填空题，难度为中低档．同时也有综合性较强的解答题出现，难度为中低档．
1．对数函数的定义
形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
a>1
0
0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
概念方法微思考
如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
提示 00且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．( √ )
(4)若am>an(a>0，a≠1)，则m>n.( × )
题组二 教材改编
2．[P83例2]已知b＝log2，则a，b，c的大小关系为________．
答案 c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
3．[P85练习T2]函数的定义域是________．
答案
解析 由得0<2x－1≤1.
∴0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21＝0.
故f(x)的值域为(0，＋∞)．
6．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 当01时，loga1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
题型一 对数函数的图象
例1 (1)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．
答案 (10,12)
解析 作出函数f(x)的大致图象如下．
由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设01时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
引申探究
若本例(2)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，
由图象知解得01时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．
题型二 对数函数的性质
命题点1 比较对数值的大小
例2 (1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)
答案 a>b>c
解析 a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43>log53>log63，∴a>b>c.
(2)已知c＝log3π，则a，b，c的大小关系为________．(用“<”连接)
答案 alog33＝1，
∴a1，所以x＝.
(2)已知不等式logx(2x2＋1)”连接)
答案 c>a>b
解析 a＝log32log22＝1，所以c最大．
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2x，则不等式f(log2x)2，
解得04，
∴不等式的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．
题型三 对数函数的综合应用
例4 已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x
＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x.
令t＝log2x，
因为x∈[1,4]，所以t∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立．
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．
思维升华 解对数函数的综合问题，要搞清题中复合函数的构成，保证变形过程的等价性．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [－4,4)
解析 由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)．
(2)函数f(x)＝log2·的最小值为______．
答案 －
解析 依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，
当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
(3)已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
答案 (1,2]
解析 当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a，要满足f(x)的值域为R，需解得a∈(1,2]．
比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
例 (1)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a>b>c
解析 因为a＝log3π>log33＝1，b＝log2b，
又＝＝(log23)2>1，c>0，
所以b>c，故a>b>c.
(2)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a＝b>c
解析 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.
(3)若实数a，b，c满足loga2a>c
解析 易知y＝f(x)是偶函数．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f ＝|log2x|，
且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，
又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b>a>c.
1．函数f(x)＝ln x＋的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 由题意可得解得0log0.40.4＝1，
c＝log80.41时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.
综上可知x≥0.
6．已知函数f(x)＝ln ，若f ＋f ＋…＋f ＝1 009(a＋b)，则a2＋b2
的最小值为________．
答案 2
解析 ∵f(x)＋f(e－x)＝2，
∴f ＋f ＋…＋f ＝2 018，
∴1 009(a＋b)＝2 018，∴a＋b＝2.
∴a2＋b2≥＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号．
∴a2＋b2的最小值为2.
7．若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
答案 (0，＋∞)
解析 令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，因为f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，
因此M的单调递增区间为.
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得11在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
9．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，
∴a＝2.由得－10时，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，
则
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以x<0时，
所以函数f(x)的解析式为
(2)因为，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0<|x2－1|<4，解得－－2，所以－0且a≠1，b≠1，若logab>1，则下列结论正确的是________．(填序号)
①(a－1)(b－1)<0；
②(a－1)(a－b)>0；
③(b－1)(b－a)<0；
④(b－1)(b－a)>0.
答案 ④
解析 由a，b>0且a≠1，b≠1，及logab>1＝logaa可得，当a>1时，b>a>1，当00，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
15．若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则a＝________.
答案 2
解析 令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝.
当a>1时，y＝logau是增函数，
f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；
当00，得x>1或x<－1.
∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．
又f(x)＋f(－x)＝lg＝0，
∴f(x)为奇函数．故f(2 020)＋f(－2 020)＝0.
(2)当x∈[2,6]时，f(x)(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．
又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7
＝－(x－4)2＋9.
∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.
即实数m的取值范围是(9，＋∞)．
