江苏省泰州市泰兴市黄桥中学2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题

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江苏省泰州市泰兴市黄桥中学2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题

黄桥中学2019-2020年秋学期高二年级第一次质量检测数学试卷 一、选择题 ‎1.不等式的解集是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:,所以不等式解集为:,故选B.‎ 考点:一元二次不等式 ‎2.设为等差数列,若,则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出,进而求得.‎ ‎【详解】设等差数列公差为 则 ‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,属于基础题.‎ ‎3.已知各项为正数的等比数列中,,,则公比q=‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,利用等比数列的性质,结合各项为正数求出,从而可得结果.‎ ‎【详解】,,‎ ‎,‎ ‎,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质,以及等比数列基本量运算,意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力,属于简单题.‎ ‎4.若等比数列首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意,由于等比数列的首项为,末项为,公比为,则根据其通项公式得到为,故可知项数为4,选B.‎ 考点:等比数列的通项公式 点评:解决的关键是利用等比数列的通项公式,以及首项和公比来得到数列的项数,属于基础题。‎ ‎5.已知为等差数列的前n项和,若,则( )‎ A. 18 B. 99 C. 198 D. 297‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质得,再根据等差数列的前n项和公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】由等差数列性质知,,‎ 又,得,则,‎ ‎ .‎ 故选B .‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质和前n项和的计算,通过合理的转化,‎ 建立已知条件和求解问题之间的联系是解题关键.‎ ‎6.已知是等差数列,公差,且成等比数列,则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵成等比数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 整理得,‎ 又 ‎∴‎ ‎∴选B.‎ ‎7.已知,,,且,则的最小值为( )‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由,,得,‎ ‎,当且仅当时等号成立。选B。‎ ‎8.关于的不等式对一切实数都成立,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特值,利用排除法求解即可.‎ ‎【详解】因为当时,满足题意,所以可排除选项B、C、A,故选D ‎【点睛】不等式恒成立问题有两个思路:‎ 求最值,说明恒成立 参变分离,再求最值。‎ ‎9.等比数列中,,则数列的前8项和等于( )‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出.‎ 解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5,‎ ‎∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.‎ ‎∴lga1+lga2+…+lga8‎ ‎=lg(a1a2…×a8)‎ ‎=‎ ‎=4lg10‎ ‎=4.‎ 故选:C.‎ 考点:等比数列的前n项和.‎ ‎10.已知数列的前n项和为,,当时,,则的值为(  )‎ A. 1008 B. 1009 C. 1010 D. 1011‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用,结合数列的递推公式可解决此问题.‎ ‎【详解】解:当时,①,故②‎ 由②-①得,,即 所以 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式的应用,含有时常用进行转化.‎ ‎11.已知等差数列的前项和为,,,则取最大值时的为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由为等差数列,所以,即,‎ 由,所以,‎ 令,即,‎ 所以取最大值时的为,‎ 故选B.‎ ‎12.设数列的前项和为,且 ,则数列的前10项的和是( )‎ A. 290 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得为等差数列,求得,得利用裂项相消求解即可 ‎【详解】由得,‎ 当时,,整理得,‎ 所以是公差为4的等差数列,又,‎ 所以,从而,‎ 所以,‎ 数列的前10项的和.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查递推关系求通项公式,等差数列的通项及求和公式,裂项相消求和,熟记公式,准确得是等差数列是本题关键,是中档题 二.填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.已知数列的通项,则=____‎ ‎【答案】1078‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分组求和,将分成一个等差数列和一个等比数列来求和.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:1078.‎ ‎【点睛】本题考查数列求和方法中分组求和,是基础题.‎ ‎14.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设数列的公比为,则有,解得,所以 ‎.‎ 考点:等比数列的定义,数列的求和问题.‎ ‎15.已知数列满足,则数列的通项公式为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,令,可得个等式,将这个等式相加整理即可得 ‎【详解】解:由可得,‎ 个等式,‎ 将上述个等式左边的和左边的相加,右边的和右边的相加,‎ 得,‎ 整理得:.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查数列求和方法中的累加法,考查学生的计算能力,是基础题.‎ ‎16.等差数列前项和为,,记,其中表示不超过的最大整数,则数列前1000项的和为____‎ ‎【答案】1893‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式与求和公式可得,再利用,可得,即可得出.‎ ‎【详解】解:为等差数列的前项和,且,. 可得,则公差.,‎ ‎,‎ 则,‎ ‎, 数列的前1000项和为:9×0+90×1+900×2+3=1893. 故答案为:1893.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知数列是公差不为0的等差数列,首项,且成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)设数列满足求数列的前项和为.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出. (2)利用等比数的求和公式即可得出.‎ ‎【详解】(1)设数列的公差为,‎ 由题设,得,即化简,得 又,‎ 所以,‎ 所以 ‎(2)由(1)得,‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,是基础题.‎ ‎18.‎ 在等比数列中,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)设的公比为q,依题意得方程组,‎ 解得,即可写出通项公式.‎ ‎(2)因为,利用等差数列的求和公式即得.‎ 试题解析:(1)设的公比为q,依题意得 ‎,‎ 解得,‎ 因此,.‎ ‎(2)因为,‎ 所以数列的前n项和.‎ 考点:等比数列、等差数列.‎ ‎19.已知 , , .‎ ‎(1)求 的最小值;‎ ‎(2)求 的最小值.‎ ‎【答案】(1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用基本不等式构建不等式即可得出; (2)由,变形得,利用“乘1法”和基本不等式即可得出.‎ 试题解析:(1)由 ,得 ,又 , ,故,‎ 故,当且仅当即时等号成立,∴ ‎ ‎(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴ ‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用,熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键.‎ ‎20.如图,学校规划建一个面积为108的矩形场地,里面分成两个部分,分别作为铅球和实心球的投掷区,并且在场地的左侧,右侧,中间和前侧各设计一条宽1的通道,问:这个场地的长,宽各为多少时,投掷区面积最大,最大面积是多少?‎ ‎【答案】当场地长为18,宽为6时,投掷区面积最大,最大面积为75.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设场地长,宽分别为米,米,可得,建立于的关系式,利用基本不等式,即可得出结论.‎ ‎【详解】解:设场地的长,宽分别为米,米,投掷区面积为,则 ‎ 当且仅当即时取等号,‎ 答:当场地长为18,宽为6时,投掷区面积最大,最大面积为75.‎ ‎【点睛】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查应用基本不等式求函数最值,构建函数关系式是关键,属于中档题.‎ ‎21.已知数列的前项和为,,.‎ ‎(1)求数列的前项和为;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将两边同除以n(n+1),可得数列 是等差数列,即可得其前项和为;‎ ‎(2)由(1)知数列的通项公式可得数列的通项公式,再由错位相减法即可求得前项和.‎ ‎【详解】解:(1)由,得,‎ 又,所以数列是首项为3,公差为1的等差数列,‎ 所以,即.‎ ‎(2)当时,,‎ 又也符合上式,所以()‎ 所以,‎ 所以,①‎ ‎,②‎ ‎①-②,得 故.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点:由数列递推关系式求解数列通项公式,错位相减法在数列求和中的应用,考查学生的运算能力和转化能力,属于中档题.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎22.已知各项都是正数的数列的前n项和为,,.‎ 求数列的通项公式;‎ 设数列满足:,,数列的前n项和求证:.‎ 若对任意恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)由和项求数列通项,注意分类讨论:当,得 ‎,当时,,得数列递推关系式,因式分解可得,根据等差数列定义得数列通项公式(Ⅱ)因为,所以利用叠加法求通项公式:,因此,从而利用裂项相消法求和得,即证得(Ⅲ)不等式恒成立问题,一般先变量分离,转化为求对应函数最值问题:由得,而有最大值,所以 试题解析:(1)时,‎ 是以为首项,为公差的等差数列 ‎…4分 ‎(2)‎ ‎,,即…………………9分 ‎(3)由得, 当且仅当时,‎ 有最大值,………………………………14分 考点:等差数列定义,叠加法求通项,裂项相消法求和 ‎【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.‎ ‎ ‎
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