新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

数学试卷 一､选择题(每小题5分)‎ ‎1.集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A. （﹣3，1） B. （﹣3，﹣2） C. R D. （﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解+2x>0得：或解+2x3<0得：‎ 所以易知A∩B=(3,2)∪(0，1)‎ 故选D ‎2.已知命题“”，则是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为否定全称命题，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词；二是要否定结论，所以的否定为：，故选C.‎ ‎3.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：直接利用双曲线的渐近线方程公式求解.‎ 详解：由题得双曲线的a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为故答案为A 点睛：(1)本题主要考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)双曲线的渐近线方程为，双曲线 的渐近线方程为.‎ ‎4.已知正实数满足，则下列不等式不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】 均为正实数， A.正确；‎ 显然B正确； ，C正确，故选D ‎5.有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞‎0”‎的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①的逆命题为若且，则为真命题，故否命题也为真；②的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，故否命题也为假命题；③其逆命题为：若的解集是，则，若的解集是时，应满足，即的范围为，所以其逆命题是真命题；④其逆否命题为：若不是无理数，则不是无理数，所以其逆否命题是真命题；故①③④正确，故选C.‎ ‎6.已知实数，满足约束条件则目标函数最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C.‎ ‎7.若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当0＜k＜9，则0＜9-k＜9，16＜25-k＜25，即曲线，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9-k，c2=34-k，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25-k，b2=9，c2=34-k，即两个双曲线的焦距相等， 故选D．‎ ‎8.已知是椭圆的两个焦点，焦距为4.过点的直线与椭圆相交于两点，的周长为32，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 焦距为4即 ；的周长为32，即 ‎ ‎ 所以椭圆的离心率为 ‎ 故选A ‎9.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为 （ ）‎ A. 1 B. 1或‎3 ‎C. 2 D. 2或6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ 因为线段的中点到直线的距离为1，所以 ，选B.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎10.与圆及圆都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线一支 C. 抛物线 D. 圆 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出两个圆的圆心坐标和半径，根据外切关系可得其轨迹为双曲线的一支.‎ ‎【详解】圆及圆的圆心分别为：，‎ 半径分别为1和2，‎ 设与与圆及圆都外切的圆的圆心P，‎ 则，‎ 所以其轨迹为双曲线的一支.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查双曲线的定义，根据定义判定曲线的轨迹，关键在于熟练掌握圆与圆的位置关系和双曲线的定义.‎ ‎11.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 抛物线的焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线 准线交双曲线左支交于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线 准线与横轴的交点为,在第二象限，由双曲线的对称性可知: ‎ ‎,这样可以求出的坐标,代入双曲线方程中,得到关于的方程,解方程得到双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】设抛物线 准线与横轴的交点为,∴的坐标为，‎ 设在第二象限，由双曲线的对称性可知: ，‎ ‎，∴的坐标为，焦距为，‎ ‎∴设，又，‎ ‎ 把的坐标代入双曲线方程中，得 ‎，‎ 故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，根据已知得到关于的方程，是解题的关键.‎ 二､填空题(每题5分)‎ ‎13.两个焦点为且过点的椭圆的标准方程为_____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得c=2,焦点在x轴，，所以椭圆方程为，填 ‎14.点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．‎ ‎【详解】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），‎ 则 代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】求轨迹方程的常见方法有:‎ ‎①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；‎ ‎②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；‎ ‎③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；‎ ‎④逆代法，将代入.‎ ‎15.已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4.‎ ‎16.椭圆的弦的中点为，则弦的长为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求出直线斜率，写出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解.‎ ‎【详解】设中点为，，，‎ ‎，两式相减：‎ ‎，‎ 即：，‎ 弦所在直线方程为，联立 整理得：，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查求直线与椭圆形成的弦长，关键在于熟练掌握点差法解决中点弦问题，求出直线方程，联立求解.‎ 三､解答题 ‎17.已知命题实数满足，：实数满足 ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若为真命题，解不等式组即可得解；‎ ‎（2）由题是的充分不必要条件，根据集合的包含关系求解实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若为真命题，‎ 或或 或 ‎（2）若是的充分不必要条件是的充分不必要条件 或 或 是的充分不必要条件是的充分不必要条件 化简，‎ 设 则且 ‎【点睛】此题考查根据命题真假求取值范围，根据充分不必要条件求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握充分条件与必要条件的判断方法.‎ ‎18.（1）若，，且，求的最小值．‎ ‎（2）已知，满足，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）64；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”即与基本不等式的性质即可得出.‎ 试题解析：（1）∵x＞0，y＞0，且+=1∴：1=+=，可得：，当且仅当8x=2y，即x=4，y=16时取等号． 那么：xy≥64故xy的最小值是64．‎ ‎（2）∵x＞0，y＞0，x+2y=1，那么：=（）（x+2y）=1+≥3+2=3+，当且仅当x=y，即x=，y=时取等号，故 的最小值是：3+．‎ ‎19.直线与椭圆相交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求线段的中点坐标及．‎ ‎（Ⅱ）已知，求．‎ ‎【答案】(1) , (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式可得线段的中点坐标，再根据弦长公式求．（2）根据点到直线距离公式求三角形高，再根据三角形面积公式求面积 试题解析：（Ⅰ）联立两个方程 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴中点，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）到直线的距离，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎20.已知抛物线的标准方程是.‎ ‎（1）求它的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为，求的长度.‎ ‎【答案】(1)焦点为，准线方程：；(2)12.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=‎ ‎∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，‎ ‎（2）∵直线L过已知抛物线焦点且倾斜角为45°，‎ ‎∴直线L的方程为y=x﹣，‎ 代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，‎ 所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．‎ 故所求的弦长为12．‎ 点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中根据直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎21.已知过点的动直线与圆：交于M，N两点.‎ ‎ （Ⅰ）设线段MN的中点为P，求点P的轨迹方程;‎ ‎ （Ⅱ）若,求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设点P的坐标为，由，利用坐标运算即可得轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设，讨论直线与轴垂直和存在斜率时两种情况，将利用坐标运算结合韦达定理即可求解.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）将化为标准方程得:, ‎ 可知圆心C的坐标为,半径,‎ 设点P的坐标为,则, ‎ 依题意知,‎ ‎∴ ‎ 整理得:, ‎ ‎∵点A在圆C内部, ∴直线始终与圆C相交,‎ ‎∴点P的轨迹方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设,‎ 若直线与轴垂直,则的方程为,代入 得,解得或,‎ 不妨设,则,不符合题设, ‎ 设直线的斜率为,则的方程为,‎ 由消去得:, ‎ ‎,‎ 则,‎ 由得,‎ ‎∴ ,‎ 解得:, ‎ ‎∴当时,直线方程为或 点睛：解解析几何问题的一个常用思路是：几何问题向量化，向量问题坐标化，坐标问题代数化，即将题中的几何信息转化为向量关系，得到坐标关系，进而建立代数方程，得关系，本题中对于和的处理就是这个流程.‎ ‎22.设，是椭圆（）上的两点，若，且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值.‎ ‎【答案】(1) 椭圆的方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用椭圆离心率e=，短轴长为2，求出几何量，可得椭圆的方程；‎ ‎（2）设出直线AB方程为y=kx+，代入椭圆方程整理，利用韦达定理及 ‎，，即可求得直线AB的斜率k的值．‎ ‎（1）∵，所以.‎ 又，‎ ‎∴，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意，设的方程为，‎ 由，整理得，‎ ‎∴，.‎ 即，解得.‎ 点睛：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．其中由条件，可知联立直线与椭圆，将y化为x，利用韦达定理，构造方成即可．‎ ‎ ‎