2019-2020学年四川省雅安市雅安中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省雅安市雅安中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省雅安市雅安中学高一上学期10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由全集U及A，求出A的补集．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0，1，2}，‎ ‎∴∁UA＝{﹣2，﹣1}，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了补集的运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．若，则集合的真子集共有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】C ‎【解析】根据n元集合有2n﹣1个真子集，结合集合{6，7，8}共有3个元素，代入可得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为A＝{6，7，8}共3个元素 故集合A＝{6，7，8}共有23﹣1＝7个真子集 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n元集合有2n个子集，有2n﹣1个真子集，是解答的关键．‎ ‎3．已知函数,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】用分段函数的意义，先判断1的位置，选择解析式求值即可．‎ ‎【详解】‎ 因为f（x），‎ ‎∴f（1）＝2×1﹣3＝﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的意义，分段函数求函数值的方法，解答关键是据自变量所属范围，分段代入求值．‎ ‎4．下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断各选项中函数的奇偶性，可排除B、C，再考虑上的单调性，故可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 选项B中，函数不具备奇偶性，选项C中，函数是奇函数，‎ 选项A,D中的函数是偶函数，但函数在区间上单调递减，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数的奇偶性和单调性，属于基础题.‎ ‎5．已知某函数的图像如图所示，则该函数的值域为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的图象，确定函数的值域．‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，当x＞0时，y＞0，‎ 当x≤0时，y≤﹣1，‎ 综上：y＞0或y≤﹣1．‎ 故该函数的值域为（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的值域的求法，利用图象即可判断函数的值域，比较基础．‎ ‎6．函数的图象是( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简题设中的函数后可得其图像的正确选项.‎ ‎【详解】‎ 函数可化为，故其图像为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的图像，属于基础题.‎ ‎7．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：函数开口向上，对称轴为 ‎，单调增区间为，函数在区间上单调递增，则应满足，即，故选择A.‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎8．若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=的定义域是（　　）‎ A.（0，1] B.[0，1） C.（0，1）∪（1，4] D.（0，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据f（x）的定义域，结合题意列不等式组求出g（x）的定义域．‎ ‎【详解】‎ 由y=f（x）的定义域为（0，2]，‎ 令，‎ 解得0＜x＜1，‎ ‎∴函数g（x）=的定义域是（0，1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．‎ ‎9．已知偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据偶函数的性质，结合题意画出函数的大致图像，由此列不等式，解不等式求得的的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于偶函数在上单调递减，且，所以函数在上递增，且，画出函数大致图像如下图所示，由图可知等价于，解得.故本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查偶函数的图像与性质，考查利用奇偶性解抽象函数不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎10．已知，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令g（x）＝ax3+bx，则g（x）是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得f（﹣2019）的值．‎ ‎【详解】‎ 令g（x）＝ax3+bx，则g（x）是R上的奇函数，‎ 又f（2019）＝k，‎ ‎∴g（2019）+1＝k，‎ ‎∴g（2019）＝k﹣1，∴g（﹣2019）＝﹣k+1，‎ ‎∴f（﹣2019）＝g（﹣2019）+1＝﹣k+1+1＝﹣k+2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，构造奇函数是解题的关键，属于基础题．‎ ‎11．已知函数对任意实数都满足，且当时都有成立，令，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可知f（x）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，然后即可比较大小 ‎【详解】‎ 由已知可知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，‎ 故f（）＜f（1）＜f（2）=f（﹣2），即，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了偶函数对称区间上单调性相反性质的应用及利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础试题 ‎12．已知函数满足,对于任意都有成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由0可知函数单调递减，然后根据函数的单调性建立条件关系即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由0可知函数单调递减，‎ 则满足 即，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】‎ 由函数，‎ 得，‎ 解得x2且x≠1，‎ 所以函数f（x）的定义域为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了具体函数求定义域的应用问题，注意根式与零次方有意义的限制.‎ ‎14．函数的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先判断函数单调递增，再根据定义域直接求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由于t=单调递增，y=2x单调递增，则f（x）单调递增，‎ 又 ‎∴x＝时，函数有最小值，无最大值 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用单调性法求解函数的值域，解题的关键是利用单调性的性质判断函数的单调性，属于基础题．‎ ‎15．设是定义在上的函数.①若存在，使成立，则函数在上单调递增；②若存在，使成立，则函数在上不可能单调递减；③若存在对于任意都有成立，则函数在上单调递增.则以上述说法正确的是_________.（填写序号）‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】根据增函数和减函数的定义判断，注意关键的条件：“任意”以及对应的自变量和函数值的关系．‎ ‎【详解】‎ ‎①、“任意”x1，x2∈R，x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则函数f（x）在R上单调递增，故①不对；‎ ‎②、由减函数的定义知，必须有“任意”x1，x2∈R，x1＜x2，使f（x1）＞f（x2）成立，故②对；‎ ‎③、由增函数的定义知，“任意”x1，x2∈R，x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则函数f（x）在R上单调递增，而不是存在，故③不对；‎ 故答案为：②．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了增函数和减函数的定义的应用，即紧扣定义的内容，是对定义的纯粹考查．‎ ‎16．已知函数y＝f（x）是偶函数，当x＞0时，；当x∈[﹣3，﹣1]时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】先利用偶函数的定义：f（﹣x）＝f（x），结合当x＞0时，的解析式，求出函数在[﹣3，﹣1]上的解析式，再利用导数求出函数的最值即得m﹣n．‎ ‎【详解】‎ 当x∈[﹣3，﹣1]时，﹣x∈[1，3]‎ ‎∵当x＞0时，f（x）‎ ‎∴f（﹣x）‎ ‎∵函数y＝f（x）是偶函数 ‎∴f（x），x∈[﹣3，﹣1]‎ ‎∵f′（x）＝﹣1‎ 当﹣3≤x＜﹣2时，f′（x）＜0，函数在[﹣3，﹣2）上是减函数；当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数在[﹣2，﹣1]上是增函数，‎ 所以当x＝﹣2时，函数有最小值4；当x＝﹣3时f（﹣3）；‎ 当x＝﹣1时，f（﹣1）＝5所以函数的最大值为5‎ 所以m＝5，n＝4，‎ 故m﹣n＝1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇偶性的应用及函数单调性的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．计算求值：‎ ‎（1） ‎ ‎（2） 若 ， 求的值 ‎【答案】（1）10 （2）3‎ ‎【解析】根据指数式的运算化简即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂的化简求值，属于基础题。‎ ‎18．已知集合，.‎ ‎(1)当时，求;‎ ‎(2)若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）先求集合A，再求集合B补集，最后求两者并集（2）先求集合A，再由得集合A为集合B的子集，根据数轴得到a的关系式，解不等式可得实数a的取值范围.‎ 试题解析：解：(1)当时，，‎ ‎(2)，若,则当时，，‎ 即，不成立，‎ ‎ 解得的取值范围为 ‎19．设，，且BA，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】【详解】‎ 若，即时，满足题意 若，即时，‎ 时 时 时 综上实数的取值范围为 ‎20．已知函数是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间 上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）(0，4]．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，则，利用可求时的解析式，故可得．‎ ‎（Ⅱ）画出函数的图像可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设，则，所以.‎ 又因为为奇函数，所以，‎ 于是时，，所以.‎ ‎(2) 函数的图像如图所示：‎ 要使在上单调递增，‎ 结合的图像知，‎ 所以，故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 对于奇函数或偶函数，如果我们知道其一侧的函数的解析式，则可通过函数解析式满足的关系求出该函数另一侧的函数的解析式．求解析式时应设所求那一侧的自变量为．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求在上的值域；‎ ‎（2）求在区间的最小值，并求的最大值.‎ ‎【答案】（1）[﹣5，20)；（2）g（a），g（a）的最大值为．‎ ‎【解析】（1）函数在(﹣3，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，可得函数f（x）在区间(﹣3，3]上的值域；‎ ‎（2）由于二次函数的对称轴为x＝1﹣a，分①当1﹣a﹣3、②当﹣3<1﹣a<3、③当1﹣a≥3三种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最小值g（a）并利用一次函数、二次函数的性质求解g（a）的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当a＝﹣1时，f（x）＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，‎ 函数在（﹣3，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，‎ ‎∴x＝2，f（x）＝﹣5，x＝﹣3，f（x）＝20，x＝3，f（x）＝﹣4，‎ ‎∴函数f（x）在区间[﹣3，3]上的值域是[﹣5，20)；‎ ‎（2）∵函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+a＝[x+（a﹣1）]2﹣1+3a﹣a2 的对称轴为x＝1﹣a，‎ ‎①当1﹣a≤﹣3，即a≥4时，函数y在[﹣3，3]上是增函数，‎ 当x＝﹣3时，函数y取得最小值为15﹣5a；‎ ‎②当﹣3<1﹣a＜3，即﹣2＜a<4时，当x＝1﹣a时，函数y取得最小值为﹣1+3a﹣a2；‎ ‎③当1﹣a≥3，即a≤﹣2时，函数y在[﹣3，3]上是减函数，故当x＝3时，数y取得最小值为3+7a．‎ 综上，‎ g（a），‎ 又当a≥4时，g（a）15﹣5a≤﹣5，当﹣2＜a<4时，g（a）﹣1+3a﹣a2，当a≤﹣2时，g（a）≤﹣11，‎ 综上g（a）的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求二次函数的最值，二次函数的性质的应用及分段函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎22．定义在上的函数满足，且函数在上是增函数．‎ ‎（1）求，并证明函数是偶函数；‎ ‎（2）若，解不等式．‎ ‎【答案】（1），证明见解析；（2）或或或.‎ ‎【解析】（1）先计算，再令可得，令即可得出；‎ ‎（2）计算，故而不等式等价于，根据的单调性和奇偶性列不等式得出解集．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）令，则，‎ 再令可得，‎ ‎∴．‎ 令可得，‎ ‎∴是偶函数．‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∵是偶函数，在上单调递增，‎ ‎∴且，‎ 解得或或或．‎ 所以不等式的解集为或或或 ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．‎