【数学】2019届一轮复习北师大版概率、随机变量及其分布高考专题突破六学案
高考专题突破六 高考中的概率与统计问题
【考点自测】
1．(2018·合肥模拟)某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量不低于320度的户数约为( )
(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3 ，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4 ，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.7 )
A．17 B．23
C．34 D．46
答案 B
解析 P(ξ≥320)＝×[1－P(280<ξ<320)]
＝×(1－95.4 )＝0.023，
0．023×1 000＝23，
∴用电量不低于320度的户数为23.故选B.
2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y，x，y相互独立，由题意可知不等式组表示的平面区域如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝
＝＝＝.
3．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ＝________.
答案
解析 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的均值Eξ＝1×＋2×＋3×＝2，Dξ＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班男生的人数为________．
答案 33
解析 根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故这个班男生的人数为33.
5．(2017·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理 是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：
理
文
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2＝≈4.844，则认为选修文理 与性别有关系出错的可能性约为________．
答案 5
解析 由χ2可认为选修文理 与性别有关系出错的可能性约为5 .
题型一 古典概型与几何概型
例1 (1)(2017·榆林二模)若函数f(x)＝在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是( )
A. B．1－
C. D.
答案 B
解析 当0≤x<1时，f(x)
0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
满足a2>b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，
所以所求事件的概率为＝.
(2)(2017·青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2
的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．
答案
解析 易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S1＝(－1)2＝4－2，
又大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.
题型二 求离散型随机变量的均值与方差
例2 (2017·南京模拟)《最强大脑》是江苏卫视推出的国内首档大型 学类真人秀电视节目．该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克．某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的P 赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手P ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立．
(1)求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率；
(2)求比赛结束时B队得分X的分布列和均值．
解 (1)记第i局A队胜为事件Ai(i＝1,2,3,4)，
比赛结束时A队得分高于B队得分的事件记为C，
则P(C)＝P(A1A23A4)＋P(A3)[1－P(124)]＝.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5.
则P(X＝0)＝P(A1A2A3A4)＝，
P(X＝1)＝C4＝，
P(X＝2)＝P(A1A23A4)＋C4＝，
P(X＝4)＝C4＝，
P(X＝5)＝，
P(X＝3)＝1－－－－－＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．
跟踪训练2受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
02
02
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得EX1＝1×＋2×＋3×
＝＝2.86(万元)，
EX2＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为EX1>EX2，所以应生产甲品牌轿车．
题型三 概率与统计的综合应用
例3 (2018·济南模拟)2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100)，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数；
(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试．
①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入第二轮面试的概率；
②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和均值．
解 (1)由频率分布直方图知：
第3组的人数为5×0.06×40＝12.
第4组的人数为5×0.04×40＝8.
第5组的人数为5×0.02×40＝4.
(2)利用分层抽样，在第3组、第4组、第5组中分别抽取3人、2人、1人．
①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则
P(A)＝1－＝，
所以甲或乙进入第二轮面试的概率为.
②X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
EX＝0×＋1×＋2×＝＝.
思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
跟踪训练3经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X<150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值．
解 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130,150)时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X<150.
由直方图知需求量X∈[120,150)的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
题型四 概率与统计案例的综合应用
例4某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会 学类、自然 学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会 学类的男生、女生均为45人．
(1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会 学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会 学类的学生人数；
(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为 类的选择与性别有关？
选择自然 学类
选择社会 学类
合计
男生
女生
合计
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥ )
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(χ2≥ )
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 (1)由条件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生选择社会 学类的频率为＝，女生选择社会 学类的频率为＝.
由题意，知男生总数为1 200×＝700，
女生总数为1 200×＝500，
所以估计选择社会 学类的人数为
700×＋500×＝600.
(2)根据统计数据，可得列联表如下：
选择自然 学类
选择社会 学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
则χ2＝＝≈5.142 9>5.024，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为 类的选择与性别有关．
思维升华统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
跟踪训练4电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值EX和方差DX.
附：χ2＝.
P(χ2≥ )
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，
“非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表的数据代入公式计算，得
χ2＝
＝
＝≈3.030.
因为2.706<3.030<3.841，
所以有90 的把握认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，X～B，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
EX＝np＝3×＝，
DX＝np(1－p)＝3××＝.
1．在区间上随机取一个数x，则sin x＋cosx∈[1，]的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为x∈，所以x＋∈，
由sin x＋cosx＝sin∈[1，]，
得≤sin≤1，所以x∈，
故要求的概率为＝.
2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为______．
答案
解析 取2个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.
3．(2018·重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．
答案
解析 画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC＝×3×＝，S△AOD＝×1×1＝，所以点P恰好落在第二象限的概率为＝＝.
4．(2017·贵州模拟)为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：
优秀
非优秀
总计
男生
15
35
50
女生
30
40
70
总计
45
75
120
(1)试判断能否有90 的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？
(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X的分布列和均值．
附：χ2＝.
P(χ2≥ )
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解 (1)因为χ2＝≈2.057，
且2.057<2.706.
所以没有90 的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关．
(2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是＝，
则抽取女生30×＝4(人)，抽取男生15×＝2(人)．
由题意，得X可能的取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
X的均值EX＝0×＋1×＋2×＝.
5．(2017·洛阳模拟)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．
(1)
求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；
(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并绘制了如下对照表：
年龄x
20
30
40
50
周均学习成语知识时间y
2.5
3
4
4.5
根据表中数据，试求线性回归方程y＝bx＋a，并预测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时间．
参考公式：b＝，a＝－b.
解 (1)设被污损的数字为a，则a有10种情况．
由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99，
得a<8，
∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，
所求概率为＝.
(2)由表中数据，计算得＝35，＝3.5，
b＝＝＝，
a＝－b＝3.5－×35＝.
∴y＝x＋.
当x＝55时，y＝4.9.
即预测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时间为4.9小时．
6．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．
(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；
(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的均值和方差．
解 (1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p，由已知，得p＝＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P＝C×0.472×(1－0.47)＝0.351 231≈0.35.
(2)由题意，知X～B(12,0.47)．
所以X的均值EX＝12×0.47＝5.64，
X的方差DX＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2.
7．将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1,2,3，…，12.抛掷该玩具一次，记事件A：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数，如9＝32，9是完全平方数)．
(1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：
①甲抛掷该玩具一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A没有发生，则甲得0分；
②乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分．
(ⅰ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值；
(ⅱ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；
(2)抛掷该玩具一次，记事件B：向上一面的点数不超过 (1≤ ≤12)．若事件A与B相互独立，试求出所有的整数 .
解 (1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y.
(ⅰ)易得X，Y的分布列分别为
点数
1
4
9
其他
X
6
24
54
0
P
点数
1
2
…
12
Y
1
2
…
12
P
…
故EX＝7，EY＝.
(ⅱ)P＝P(X＝6,1≤Y≤6)＋P(X＝24)＋P(X＝54)
＝×＋＋＝.
(2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为12，事件A包含3个基本事件(1点，4点，9点)．
记n(AB)，n(B)分别表示事件AB，B包含的基本事件数，由P(AB)＝P(A)P(B)及古典概型，
得＝·，所以n(B)＝4n(AB)，①
故B事件包含的基本事件数必为4的倍数，
即 ∈{4,8,12}，
当 ＝4时，n(B)＝4，AB＝{1,4}，n(AB)＝2，不符合①，
当 ＝8时，n(B)＝8，AB＝{1,4}，n(AB)＝2，符合①，
当 ＝12时，n(B)＝12，AB＝{1,4,9}，n(AB)＝3，符合①，
故 的所有可能值为8或12.
