【数学】2019届一轮复习北师大版算法、复数、推理与证明学案

【数学】2019届一轮复习北师大版算法、复数、推理与证明学案

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 复数 从近三年高考情况来看，复数为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.‎ 算法与程序框图的考查是每年必考内容之一，主要考查判断功能型、结果输出型、条件判断型，涉及数列求和、求积、分段函数求值、不等式、概率与统计等知识，多以选择题、填空题的形式呈现，属中低档题，解题时重点应放在读懂程序框图上，重视当型与直到型循环结构的区别. : xx ]‎ 推理与证明中的推理作为高考的重点内容时常考查，涉及内容新颖、命题角度独特，一般为填空题或选择题，解题时要求学生具备较强的逻辑思维能力、推理论证能力和综合能力以及化归转化思想.‎ ‎2017新课标全国Ⅰ 3‎ ‎2017新课标全国Ⅱ 2‎ ‎2017新课标全国Ⅲ 2‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 2‎ ‎2016新课标全国Ⅱ 2‎ ‎2016新课标全国Ⅲ 2‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 3‎ ‎2015新课标全国Ⅱ 2[ : xx ] [ :学 XX ]‎ ‎★★★★★‎ 算法 ‎2017新课标全国Ⅰ 10‎ ‎2017新课标全国Ⅱ 10‎ ‎2017新课标全国Ⅲ8‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 10‎ ‎2016新课标全国Ⅱ 9‎ ‎2016新课标全国Ⅲ 8‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 9‎ ‎2015新课标全国Ⅱ 8‎ ‎★★★★★‎ 推理与证明 ‎2017新课标全国Ⅱ 9‎ ‎2016新课标全国Ⅱ 16‎ ‎★★★★‎ 考点1 复数 题组一 复数的相关概念 调研1 若复数是纯虚数,其中是实数,则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】因为复数是纯虚数，所以，则m=0，所以，则. ‎ 题组二 复数的计算 调研2 已知复数 满足，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则，‎ 故，故，解得.‎ 所以.故选C.‎ 题组三 复数的几何意义 调研3 “复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，对应的点为在第三象限，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点在第三象限是的充分不必要条件.故选A．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 常用结论：‎ ‎（1）；=；=.‎ ‎（2）．‎ ‎（3），．‎ ‎（4）模的运算性质：①；②；③.‎ ‎（5）设ω＝－＋i，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③＝ω2.‎ 注意点：‎ ‎1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．‎ ‎3．两个虚数不能比较大小．‎ ‎4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．‎ ‎5．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若 1， 2∈C， ＋ ＝0，就不能推出 1＝ 2＝0； 2<0在复数范围内有可能成立．‎ 考点2 算法 调研1 元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的时，问一开始输入的=‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次运行，输入，，，；‎ 第二次运行，，； ‎ 第三次运行，，，输出，令，解得.故选B．‎ ‎【名师点睛】本题考查算法框图，解答本题的关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．解决本题时，根据流程图，求出对应的函数关系式，根据题设条件输出的，由此关系建立方程求出自变量的值即可．‎ 调研2 若执行如图所示的程序框图后，输出的，则判断框内的条件应为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】当S=0，i=1时，应不满足退出循环的条件，故S=1，i=2；‎ 当S=1，i=2时，应不满足退出循环的条件，故S=6，i=3；‎ 当S=6，i=3时，应不满足退出循环的条件，故S=27，i=4；‎ 当S=27，i=4时，应满足退出循环的条件，故判断框内的条件应为i＞3？，‎ 故选A． ‎ ‎【名师点睛】‎ 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：‎ ‎(1)不要混淆处理框和输入框；‎ ‎(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；‎ ‎(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；‎ ‎(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；‎ ‎(5)要注意各个框的顺序；‎ ‎(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 高考中对程序框图的考查，主要是顺序结构、条件结构、循环结构，其中循环结构为重点，考查程序运行后的结果，或考查控制循环的条件，主要以选择题或填空题的形式出现.‎ ‎(1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．‎ ‎(2)条件结构 利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．‎ ‎(3)循环结构 ‎①已知程序框图，求输出的结果．可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．‎ ‎②完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．‎ ‎③对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.‎ 考点3 推理与证明 调研1 在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：‎ ‎（1）此案是两人共同作案；‎ ‎（2）若甲参与此案，则丙一定没参加；‎ ‎（3）若乙参与此案，则丁一定参与；‎ ‎（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.‎ 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是 A．甲、乙 B．乙、丙 ‎ C．丙、丁 D．甲、丁 ‎【答案】C ‎【解析】①若甲、乙参与此案，则与信息（3）矛盾，故A不正确．‎ ‎②若乙、丙参与此案，则与信息（3）矛盾，故B不正确． ‎ ‎③若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故C正确．‎ ‎④若甲、丁参与此案，则与信息（4）矛盾，故D不正确．‎ 故选C．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项都要逐一分析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案．‎ 调研2 对大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和，比如以此规律，则的分解和式中一定不含有 A．2069 B．2039 ‎ C．2009 D．1979‎ ‎【答案】D ‎【解析】由规律得中有项，而中第一项分别为 ‎，所以的分解和式中第一项为，所以一定不含有1979，选D． ‎ ‎1．（2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷）设复数满足，则复平面内表示的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎2．（山东 12联盟2018届高三开年迎春考试）若复数，则的共轭复数的虚部为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以 的共轭复数为，虚部为，选B． ‎ ‎3．（北京市海淀区2018届高三第二学期期末第二次模拟考试）已知复数在复平面上对应的点为，则 A．是实数 B．是纯虚数 ‎ C．是实数 D．是纯虚数 ‎【答案】C ‎4．（陕西省咸阳市2018届高三模拟考试（三模））执行如图所示的程序框图，如果输入的，，，那么输出a的值为 A．6 B．5 ‎ C．4 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，首先，则，再比较，因此输出，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查程序框图，解题方法是模拟程序运行，观察其中的变量值，最终得出程序运行结果. ‎ ‎5．（安徽省合肥市2018届高三三模）运行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内的条件应该是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎ (6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. ‎ ‎6．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12 于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的 A．44 B．68 ‎ C．100 D．140‎ ‎【答案】C 第7次运行，，不符合，继续运行；‎ 第8次运行，，符合，退出运行，输出.‎ 故选C. ‎ ‎7．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有，，，四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：‎ 甲说：“、同时获奖”；‎ 乙说：“、不可能同时获奖”；‎ 丙说：“获奖”；‎ 丁说：“、至少一件获奖”.‎ 如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是 A．作品与作品 B．作品与作品 ‎ C．作品与作品 D．作品与作品 ‎【答案】D ‎ ‎ ‎8．（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二））为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为 A．乙、乙 B．乙、甲 ‎ C．甲、乙 D．甲、丙 ‎【答案】D ‎9．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟考试）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学 .其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当时，该黑色三角形内共去掉( )个小三角形 A．81 B．121 ‎ C．364 D．1093‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的倍加，所以，时，；‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，，故选C．‎ ‎【名师点睛】常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎1．（2017新课标全国卷Ⅰ文 ）下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．i(1+i)2 B．i2(1−i)‎ C．(1+i)2 D．i(1+i)‎ ‎【答案】C ‎2．（2017新课标全国卷II文 ） ‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，故选B.‎ ‎【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 1， 2互为共轭复数，则 1· 2＝| 1|2＝| 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．‎ ‎3．（2017新课标全国卷Ⅲ文 ）复平面内表示复数的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，则表示复数的点位于第三象限，所以选C.‎ ‎【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为 ‎4．（2016新课标全国卷Ⅰ文 ）设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=‎ A．−3 B．−2 ‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎ 5．（2016新课标全国卷II文 ）设复数 满足，则 =‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，所以，故选C.‎ ‎【名师点睛】复数的共轭复数是，据此先化简再计算即可.‎ ‎6．（2016新课标全国卷Ⅲ文 ）若，则=‎ A．1 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D．‎ ‎【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ ‎7．（2015新课标全国卷I文 ）已知复数满足 则 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】故选C.‎ ‎【名师点睛】本题考查复数的运算，先由 解出 ，再利用复数的除法运算法则求出复数 ，本题也可以设出复数 ，利用两个复数相等的充要条件，解出复数 ，解复数题目的关键是熟悉复数的相关概念，掌握复数的运算法则.‎ ‎8．（2017新课标全国卷Ⅰ文 ）下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2‎ ‎【答案】D ‎9．（2017新课标全国卷II文 ）执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的 A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎10．（2017新课标全国卷Ⅲ文 ）执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 A．5 B．4 ‎ C．3 D．2‎ ‎【答案】D ‎11．（2016新课标全国卷Ⅰ文 ）执行下面的程序框图，如果输入的，则输出x，y的值满足 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎12．（2016新课标全国卷II文 ）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的为2，2，5，则输出的s =‎ A．7 B．12 ‎ C．17 D．34‎ ‎【答案】C ‎13．（2016新课标全国卷Ⅲ文 ）执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎14．（2015新课标全国卷I文 ）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=Sm=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环；‎ 执行第2次，S=S−m =0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环；‎ 执行第3次，S=S−m =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环；‎ 执行第4次，S=S−m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环；‎ 执行第5次，S=S−m =0.03125,=0.015 625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环；‎ 执行第6次，S=S−m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环；‎ 执行第7次，S=S−m=0.007812 5,=0.003 906 25,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，‎ 故选C.‎ ‎【名师点睛】本题是已知程序框图计算输出结果的问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，直到输出时，即可计算出输出结果，是常规题，程序框图还可考查已知输入、输出，补全框图或考查程序框图的意义，处理方法与此题相同.‎ ‎15．（2015新课标全国卷II文 ）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的分别为14,18，则输出的 A．0 B．2‎ C．4 D．14‎ ‎【答案】B ‎ 16．（2017新课标全国卷II文 ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎17．（2016新课标全国卷II文 ）‎ 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .‎ ‎【答案】1和3‎ ‎【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2.‎ ‎【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.‎