【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
一、知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
(2)倾斜角的范围为[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.
3．直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
不含直线x＝x1
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝
(x1≠x2，y1≠y2)
y2)
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b
＋＝1
(a≠0，b≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
1．直线倾斜角和斜率的关系
不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．
2．五种特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0.
(2)y轴：x＝0.
(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．
(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．
(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.
二、教材衍化
1．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
解析：由题意得＝1，解得m＝1.
答案：1
2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．
解析：令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.
答案：－24
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)由直线方程求斜率的思路不清；
(2)忽视斜率和截距对直线位置的影响；
(3)忽视直线斜率不存在的情况；
(4)忽视截距为0的情况．
1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋a＝0的斜率为________．
解析：设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
答案：
2．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．
解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：三
3．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．
解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
答案：x－2y＋2＝0或x＝2
4．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
[学生用书P150]
直线的倾斜角与斜率(典例迁移)
(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B．∪
C. D．∪
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.
(2)如图，因为kAP＝＝1，
kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.
【答案】 (1)B (2)∪
【迁移探究1】 (变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.
【迁移探究2】 (变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．
解：如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k＝tan α的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
[提醒] 直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分，与三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈时，斜率k∈；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈.
1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
2．已知点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．
解析：点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)>0，解得－
0，b>0)，将点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，
可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
则A，B(0，2－3k)，
S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12，
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
【迁移探究1】 (变问法)若本例条件不变，求|OA|＋|OB|的最小值及此时l的方程．
解：法一：由原例题法一知＋＝1.
因为|OA|＋|OB|＝a＋b，
所以(a＋b)＝5＋＋≥5＋2.
当且仅当a＝b，且＋＝1，
即a＝3＋，b＝2＋时，
|OA|＋|OB|的最小值为5＋2.
此时，直线l的方程为＋＝1，
即x＋3y－6－3＝0.
法二：由原例题解法二知
|OA|＋|OB|＝3－＋2－3k(k<0)
＝5＋＋(－3k)
≥5＋2＝5＋2.
当且仅当－＝－3k，即k＝－时，
|OA|＋|OB|取最小值5＋2.
此时直线l的方程为y－2＝－(x－3)，
即x＋3y－6－3＝0.
【迁移探究2】 (变问法)若本例条件不变．求·的最大值及此时直线l的方程．
解：由原例题法二知A(3－，0)，B(0，2－3k)，·＝(－，－2)·(－3，－3k)＝＋6k＝－[(－)＋(－6k)]≤－2 ＝－12，
当且仅当－＝－6k时，即k＝－1时等号成立，此时直线l的方程为x＋y－5＝0.所以·的最大值为－12，所求直线l的方程为x＋y－5＝0.
(1)给定条件求直线方程的思路
①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况；
②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程；
③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．
(2)与直线有关的最值问题的解题思路
①借助直线方程，用y表示x(或用x表示y)；
②将问题转化成关于x(或y)的函数；
③利用函数的单调性或基本不等式求最值．
1．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是( )
A．1 B．
C．2 D．3
解析：选D.当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因为a>1，所以a－1>0.所以t≥5＋2＝9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．
2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．
解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，面积最小．
答案：
[学生用书P152]
巧构造，妙用斜率求解问题
一、比较大小
已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________．
【解析】 作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲
线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，
因为a>b>c>0，
所以<<.
【答案】 <<
对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较与的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小．
二、求最值
已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
【解】
如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.
易得A(1，1)，B(－1，5)，
所以kPA＝＝，
kPB＝＝8，
所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．
三、证明不等式
已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a.
【证明】
如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．
因为00，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．
连接OP，PM，则kOP＝，kMP＝.
因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，
所以kMP>kOP，即>.
根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．
[学生用书P370(单独成册)]
[基础题组练]
1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.x－y＋1＝0 B．x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0
解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
3．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是( )
解析：选B.直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．
4．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C.令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．
5．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.因为直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，
所以a＋b＝ab，即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
6.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是________．
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.
令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
答案：k＜－1或k>
7．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．
解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.
当y＝0时，x＝.
所以＝a＋2，
解得a＝－2或a＝1.
答案：－2或1
8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，
当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．
所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，
所以b＝±1.
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．已知射线l1：y＝4x(x≥0)和点P(6，4)，试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．
解：设点Q坐标为(a，4a)，PQ与x轴正半轴相交于M点．
由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形．
PQ所在的直线方程为：y－4＝(x－6)，
令y＝0，x＝，
因为a＞1，所以S△OQM＝×4a×，
则S△OQM＝＝10＝
10≥40，
当且仅当(a－1)2＝1时取等号．
所以a＝2时，Q点坐标为(2，8)，
所以此时直线l的方程为：x＋y－10＝0.
[综合题组练]
1．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选B.由l的方程，得A，B(0，2＋4k)．
依题意得解得k>0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.
2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
3．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且点Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为( )
A. B．
C．1 D．9
解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又点Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.
4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．
解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
联立得x2＋x＋6＝0.
要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.
所以实数m的取值范围是∪.
答案：∪
5.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
6．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令
解得
所以无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．
(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，
则有
解得k≥0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．
综上，k的取值范围是k≥0.
(3)依题意得A，B(0，1＋2k)，
且
解得k>0.
所以S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是4k＝，此时k＝，
所以Smin＝4，
此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
