2019年高考数学精讲二轮教案第二讲 算法、复数、推理与证明

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2019年高考数学精讲二轮教案第二讲 算法、复数、推理与证明

第二讲 算法、复数、推理与证明 考点一 复数的概念与运算 ‎1.复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.‎ ‎2.复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.‎ ‎3.复数运算中常见的结论 ‎(1)(1±i)2=±2i,=i,=-i;‎ ‎(2)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;‎ ‎(3)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|=(  )‎ A.0 B. C.1 D. ‎[解析] ∵z=+2i=+2i=i,∴|z|=1,故选C.‎ ‎[答案] C ‎2.(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足:(2+i)z=1-i,其中i是虚数单位,则z的共轭复数为(  )‎ A.-i B.+i C.-i D.+i ‎[解析] 由(2+i)z=1-i,得z===-i,∴=+i,故选B.‎ ‎[答案] B ‎3.(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z满足zi=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎[解析] 由zi=3+4i,得z===4-3i,∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4,-3),该点位于第四象限,故选D.‎ ‎[答案] D ‎4.(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z=,为z的共轭复数,则()2017=(  )‎ A.i B.-i C.-22017i D.22017i ‎[解析] 由题意知z===i,可得=-i,则()2017=[(-i)4]504·(-i)=-i,故选B.‎ ‎[答案] B ‎[快速审题] (1)看到题目的虚数单位i,想到i运算的周期性;看到z·,想到公式z·=|z|2=||2.‎ ‎(2)看到复数的除法,想到把分母实数化处理,即分子、分母同时乘以分母的共轭复数,再利用乘法法则化简.‎ ‎ 复数问题的解题思路 以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础,结合四则运算,利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题.‎ 考点二 程序框图 ‎1.当需要对研究的对象进行逻辑判断时,要使用条件结构,它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构.‎ ‎2.注意直到型循环和当型循环的本质区别:直到型循环是先执行再判断,直到满足条件才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件,则进入循环体,否则结束循环.‎ ‎3.循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和、累乘求积等.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是4,则常数a的值为(  )‎ A.4 B.2 C. D.-1‎ ‎[解析] S和n依次循环的结果如下:S=,n=2;S=1-,n=4.所以1-‎ =2,a=-1,故选D.‎ ‎[答案] D ‎2.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的i的值为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎[解析] 根据程序框图,程序执行中的数据变化如下:n=12,i=1;n=6,i=2;6≠5;n=3,i=3;3≠5;n=10,i=4;10≠5;n=5,i=5;5=5成立,程序结束,输出i=5,故选B.‎ ‎[答案] B ‎3.(2018·全国卷Ⅱ)为计算S=1-+-+…+-,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入(  )‎ A.i=i+1 B.i=i+2‎ C.i=i+3 D.i=i+4‎ ‎[解析] S=1-+-+…+-=-,当不满足判断框内的条件时,S=N-T,所以N=1+++…+,T=++…+,所以空白框中应填入i=i+2,故选B.‎ ‎[答案] B ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的S的值是________.‎ ‎[解析] 由程序框图可知,n=1,S=0;S=cos,n=2;S=cos+cos,n=3;…;S=cos+cos+cos+…+cos=251+cos+cos+…+cos=251×0++0++(-1)++0=-1-,n=2015,输出S.‎ ‎[答案] -1- ‎[快速审题] (1)看到循环结构,想到循环体的结构;看到判断框,想到程序什么时候开始和终止.‎ ‎(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能,想到依次执行n次循环体,根据结果判断.‎ ‎(3)看到求输入的值,想到利用程序框图得出其算法功能,找出输出值与输入值之间的关系,逆推得输入值.‎ ‎ 求解程序框图2类常考问题的解题技巧 ‎(1)程序框图的运行结果问题 先要找出控制循环的变量及其初值、终值.然后看循环体,若循环次数较少,可依次列出即可得到答案;若循环次数较多,可先循环几次,找出规律.要特别注意最后输出的是什么,不要出现多一次或少一次循环的错误,尤其对于以累和为限定条件的问题,需要逐次求出每次迭代的结果,并逐次判断是否满足终止条件.‎ ‎(2)程序框图的填充问题 最常见的是要求补充循环结构的判断条件,解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n?”或“i20,退出循环,输出S的值为54,故选B.‎ ‎[答案] B ‎8.(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图,那么输出的S值是(  )‎ A. B.-1 C.2008 D.2‎ ‎[解析] 模拟程序的运行,可知S=2,k=0;S=-1,k=1;S=,k=2;S=2,k=3;…,可见S的值每3个一循环,易知k=2008对应的S值是第2009个,又2009=3×669+2,∴输出的S值是-1,故选B.‎ ‎[答案] B ‎9.(2018·湖南长沙模拟)如图,给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是(  )‎ A.i>100,n=n+1 B.i<34,n=n+3‎ C.i>34,n=n+3 D.i≥34,n=n+3‎ ‎[解析] 算法的功能是计算1+++…+的值,易知1,4,7,…,100成等差数列,公差为3,所以执行框中(2)处应为n=n+3,令1+(i-1)×3=100,解得i=34,∴终止程序运行的i值为35,∴判断框内(1)处应为i>34,故选C.‎ ‎[答案] C ‎10.(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎[解析] 由题可知,乙、丁两人的观点一致,即同真同假,假设乙、丁说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说的是真话,推出丙是罪犯,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,显然两个结论相互矛盾,所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙供述可得,乙是罪犯,故选B.‎ ‎[答案] B ‎11.(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出S的值为1,则判断框内为(  )‎ A.i>6? B.i>5? C.i≥3? D.i≥4?‎ ‎[解析] 依题意,执行程序框图,进行第一次循环时,S=1×(3-1)+1=3,i=1+1=2;进行第二次循环时,S=3×(3-2)+1=4,i=2+1=3;进行第三次循环时,S=4×(3-3)+1=1,i=4,因此当输出的S的值为1时,判断框内为“i≥4?”,故选D.‎ ‎[答案] D ‎12.(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为(  )‎ A.①② B.①③‎ C.②④ D.①④‎ ‎[解析] 设截面与底面的距离为h,则①中截面内圆的半径为h,则截面圆环的面积为π(R2-h2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R-h)2;③中截面圆的半径为R-,则截面圆的面积为π(R-)2;④中截面圆的半径为,则截面圆的面积为π(R2-h2).所以①④中截面的面积相等,故其体积相等,故选D.‎ ‎[答案] D 二、填空题 ‎13.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.‎ ‎[解析] ∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,∴解得a=-2.‎ ‎[答案] -2‎ ‎14.如图是一个三角形数阵:‎ 按照以上排列的规律,第16行从左到右的第2个数为________.‎ ‎[解析] 前15行共有=120(个)数,故所求的数为a122==.‎ ‎[答案]  ‎15.(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图,如果输入m=30,n=18,则输出的m的值为________.‎ ‎[解析] 如果输入m=30,n=18,第一次执行循环体后,r=12,m=18,n=12,不满足输出条件;第二次执行循环体后,r=6,m=12,n=6,不满足输出条件;第三次执行循环体后,r=0,m=6,n=0,满足输出条件,故输出的m值为6.‎ ‎[答案] 6‎ ‎16.“求方程x+x=1的解”,有如下解题思路:设f(x)=x+x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2,类比上述解题思路,可得不等式x6-(x+2)>(x+2)3-x2的解集是________.‎ ‎[解析] 因为x6-(x+2)>(x+2)3-x2,所以x6+x2>(x+2)3+(x+2),所以(x2)3+x2>(x+2)3+(x+2).令f(x)=x3+x,所以不等式可转化为f(x2)>f(x+2).因为f(x)在R上单调递增,所以x2>x+2,解得x<-1或x>2.故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).‎ ‎[答案] (-∞,-1)∪(2,+∞)‎
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