【数学】2018届一轮复习苏教版第84讲二项式定理的应用学案

【数学】2018届一轮复习苏教版第84讲二项式定理的应用学案

‎【知识要点】‎ ‎1、二项式定理：‎ ‎①项数：展开式中总共有项，而不是项；②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改.与是不同的；③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列.的指数从逐项减到，是升幂排列.各项的次数和等于.‎ ‎2、二项式通项公式： （）‎ ‎ （1）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；‎ ‎（2）其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；‎ ‎（3）注意.‎ ‎3、二项式展开式的二项式系数的性质 ‎（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即=.‎ ‎（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大.‎ ‎（3）所有二项式系数的和等于，即 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 ‎4、二项展开式的系数的性质：‎ 对于，‎ ‎5、证明组合恒等式常用赋值法.‎ ‎6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项.‎ ‎（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.‎ ‎ 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.‎ ‎（2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出 .‎ ‎【方法讲评】‎ 应用一 利用通项公式求的系数 解题方法 直接代二项式展开式的通项，再化简.‎ ‎【例1】在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？‎ ‎【点评】（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去，剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.(2)二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.‎ ‎【反馈检测1】已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512．‎ ‎（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；‎ ‎（2）求展开式中项的系数．‎ 应用二 求二项式展开式的有理数项 解题方法 先求二项式的展开式的通项，再化简，再令的指数为整数解答.‎ ‎【例2】求二项式展开式中的有理项.‎ ‎【点评】有理项指的是的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零. 学 ‎ ‎【反馈检测2】已知的展开式中的二项式系数之和为.‎ ‎（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.‎ 应用三 求二项式展开式的系数最大的项和二项式系数最大的项 解题方法 ‎（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.‎ ‎（2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出 .‎ ‎【例3】已知二项式．‎ ‎（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；‎ ‎（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ ‎（2），‎ 解得，设项系数最大，由于 ‎，，第11项最大．‎ ‎【点评】（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.（2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为 ‎，设第项系数最大，应有，从而解出 .‎ ‎【反馈检测3】已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1．‎ ‎（1）求展开式中的系数；‎ ‎（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．‎ ‎（3）求的值.‎ 应用四 求展开式的系数.‎ 解题方法 一般把三项式变成二项式，再代二项式展开式的通项公式解答.‎ ‎【例4】 求当的展开式中的一次项的系数.‎ ‎【点评】（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式. 所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答. (2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答. 【反馈检测4】展开式中常数项为（ ）‎ A．252 B．－‎252 C．160 D．－160 ‎ 应用五 两个二项式相乘的系数问题 解题方法 一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合研究.‎ ‎【例5】 在的展开式中，求的系数.‎ ‎【解析】，‎ 要得到，‎ 当第一个因式取1时，展开式取5次项，项系数为 当第一个因式取时，展开式取4次项，项系数为 当第一个因式取时，展开式取3次项，项系数为 当第一个因式取-时，展开式取2次项，项系数为 ‎∴项系数为+=-63‎ ‎【点评】两个二项式相乘的系数问题，一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合 研究.‎ ‎【反馈检测5】‎ 应用六 二项式展开式的系数和与差的问题 解题方法 一般利用赋值法解答.‎ ‎【例6】已知，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【点评】二项式展开式的系数和与差的问题，一般利用赋值法解答，主要是给二项式的展开式的变量 赋一些特殊值，如：1，-1，0等.‎ ‎【反馈检测6】（1）设展开式中只有第5项的二项式系数最大．则= ．‎ ‎（2）1＋2＝ ．‎ 应用七 整除性问题 解题方法 一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究.‎ ‎【例7】证明：能被64整除 ‎【点评】整除性的问题，一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究，拆数是关键，本题中指数的底数是“3”，先变成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二项式定理研究就方便了. 学 ‎ ‎【反馈检测7】求证：能被7整除.‎ 应用八 证明不等式等 解题方法 一般对二项式定理进行顺用或逆用.‎ ‎【例8】 求证：2<（1+）n<3（）.‎ ‎【证明】（1+）n=C+C× +C（）2+…+C（）n=1+1+C×+C×+…+C×=2+×+×+…+×<2++‎ ‎++…+<2++++…+=2+=3－（）<3.显然（1+）n=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<（1+）n<3.‎ ‎【点评】看到一般要联想到是否能利用二项式定理解答，这是一个观察联想的能力.‎ ‎【反馈检测8】 ‎ 应用九 利用二项式定理求近似值 解题方法 一般先把底数拆成“1”与某个小数的和与差，再利用二项式定理研究解答.‎ ‎【例9】求的近似值，使误差小于；‎ ‎【点评】由，当的绝对值与1相比很小且很大时，‎ 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：‎ ‎，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求， 确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：.‎ ‎【反馈检测9】某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22 ，人均粮食占有量比现在提高10 .如果人口年增加率为1 ，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第84讲：‎ 二项式定理的应用参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1），；（2）．‎ ‎【反馈检测2答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）所有有理项为：.‎ ‎【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）依题意得：，‎ 令得 展开式中没有常数项.‎ ‎（Ⅱ）当时，为有理项.展开式中所有有理项为：. ‎ ‎【反馈检测3答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【反馈检测3详细解析】（1）由，解得．‎ 因为通项：，令 ，‎ 于是系数为．‎ ‎（2）设第项系数绝对值最大，则 解得，于是只能为6 ‎ 所以系数绝对值最大的项为．‎ ‎（3）原式==．‎ ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测5答案】‎ ‎【反馈检测5详细解析】‎ ‎.‎ ‎【反馈检测6答案】(1)；（2）.‎ ‎【反馈检测6详细解析】（1）由二项式系数的对称性，‎ ‎（2）即为展开式中各项的系数 在中令，∴‎ ‎（2）在＝中，‎ 令，得1＋2‎ ‎【反馈检测7答案】见解析. 学 ‎ ‎【反馈检测8答案】‎ ‎【反馈检测8详细解析】与已知的有一些差距，‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测9答案】耕地平均每年至多只能减少4亩．‎ ‎【反馈检测9详细解析】设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，依题意 化简：‎ ‎（亩）‎ 答：耕地平均每年至多只能减少4亩．‎