高考数学复习 17-18版 第9章 第41课 直线、平面垂直的判定及其性质

高考数学复习 17-18版 第9章 第41课 直线、平面垂直的判定及其性质

第41课 直线、平面垂直的判定及其性质 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 直线与平面垂直的判定及性质 ‎√‎ 两平面垂直的判定及性质 ‎√‎ ‎1．直线与平面垂直 图形 条件 结论 判 定 a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)‎ a⊥α a⊥m，a⊥n，m，n⊂α，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α 性 质 a⊥α，b⊂α a⊥b a⊥α，b⊥α a∥b ‎2.平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)‎ ‎(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　)‎ ‎(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(2017·南京模拟)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：‎ ‎(1)若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；‎ ‎(2)若l⊥α，l∥m，则m⊥α；‎ ‎(3)若l∥α，m⊂α，则l∥m；‎ ‎(4)若l∥α，m∥α，则l∥m，‎ 则其中正确的命题是____________．(填序号)‎ ‎(1)(2)　[∵l⊥α，m⊂a，∴l⊥m，故(1)正确；‎ 若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故(2)正确；‎ 若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故(3)错误；‎ 若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故(4)错误．]‎ ‎3．如图411，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．‎ 图411‎ ‎4　[∵PA⊥平面ABC，‎ ‎∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，‎ 则△PAB，△PAC为直角三角形．‎ 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.‎ ‎∴△ABC，△PBC也是直角三角形．]‎ ‎4．(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____________心．‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____________心．‎ ‎(1)外心　(2)垂心　[∵PO⊥平面ABC，且PA＝PB＝PC，‎ ‎∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．‎ ‎(2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，‎ ‎∴PA⊥BC，‎ 又PO⊥BC ‎∴BC⊥平面PAO ‎∴AO⊥BC，‎ 同理BO⊥AC，CO⊥AB，‎ ‎∴O是△ABC的垂心．]‎ ‎5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．‎ a　[如图所示，取BD的中点O，连结A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．‎ 即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，‎ ‎∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]‎ 线面垂直的判定与性质 ‎　如图412所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.‎ 图412‎ 求证：PA⊥CD. 【导学号：62172224】‎ ‎[证明]　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.‎ 设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，‎ 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.‎ 因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ 所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.‎ ‎[规律方法]　1.证明直线和平面垂直的常用方法有：‎ ‎(1)判定定理；‎ ‎(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；‎ ‎(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；‎ ‎(4)面面垂直的性质．‎ ‎2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎[变式训练1]　如图413，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.‎ 图413‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ 所以AB⊥CD.‎ 又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，‎ AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，‎ 所以CD⊥平面ABD.‎ ‎(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.‎ 又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×12＝.‎ 因为M是AD的中点，所以S△ABM＝S△ABD＝.‎ 根据(1)知，CD⊥平面ABD，‎ 则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，‎ 故三棱锥VAMBC＝VCABM＝S△ABM·h＝.‎ 面面垂直的判定与性质 ‎　如图414，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．‎ 图414‎ ‎(1)求证：BD∥平面FGH；‎ ‎(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.‎ ‎[证明]　(1)如图所示，连结DG，CD，设CD∩GF＝M，‎ 连结MH.‎ 在三棱台DEFABC中，‎ AB＝2DE，G为AC的中点，‎ 可得DF∥GC，DF＝GC，‎ 所以四边形DFCG为平行四边形．‎ 则M为CD的中点，‎ 又H为BC的中点，‎ 所以HM∥BD，‎ 由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，‎ 故BD∥平面FGH.‎ ‎(2)连结HE.‎ 因为G，H分别为AC，BC的中点，‎ 所以GH∥AB.‎ 由AB⊥BC，得GH⊥BC.‎ 又H为BC的中点，‎ 所以EF∥HC，EF＝HC，‎ 因此四边形EFCH是平行四边形，‎ 所以CF∥HE.‎ 由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.‎ 又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.‎ 所以BC⊥平面EGH.‎ 又BC⊂平面BCD，‎ 所以平面BCD⊥平面EGH.‎ ‎[规律方法]　1.面面垂直的证明的两种思路：‎ ‎(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；‎ ‎(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．‎ ‎2．垂直问题的转化关系：‎ 线线垂直线面垂直面面判定性质垂直 ‎[变式训练2]　如图415，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．‎ 图415‎ ‎(1)求证：PB∥平面MNC；‎ ‎(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC. 【导学号：62172225】‎ ‎[证明]　(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，‎ 又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，‎ 所以PB∥平面MNC.‎ ‎(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.‎ 因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.‎ 因为平面PAB⊥平面ABC，‎ CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.‎ 所以CM⊥平面PAB.‎ 因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.‎ 又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.‎ 平行与垂直的综合问题 角度1　多面体中平行与垂直关系的证明 ‎　(2016·江苏高考)如图416，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A‎1F，A‎1C1⊥A1B1.‎ 图416‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎[证明]　(1)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.‎ 又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，A‎1A⊥平面A1B‎1C1.‎ 因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.‎ 又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.‎ 因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.‎ 又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.‎ 因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎[规律方法]　1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．‎ ‎2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．‎ 角度2　平行垂直中探索开放问题 ‎　如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1F⊥CD，如图②所示．‎ ‎①　　　　　　　　②‎ 图417‎ ‎(1)求证：A‎1F⊥BE；‎ ‎(2)线段A1B上是否存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ？并说明理由．‎ ‎[证明]　(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.‎ 所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，‎ 因为DC∩DA1＝D，‎ 所以DE⊥平面A1DC.‎ 由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.‎ 又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，‎ 所以A1F⊥平面BCDE，‎ 又BE⊂平面BCDE，‎ 所以A1F⊥BE.‎ ‎(2)线段A1B上存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ.‎ 理由如下：‎ 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连结PQ，则PQ∥BC.‎ 又因为DE∥BC，则DE∥PQ.‎ 所以平面DEQ即为平面DEQP.‎ 由(1)知，DE⊥平面A1DC，‎ 所以DE⊥A1C.‎ 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，‎ 所以A1C⊥DP.‎ 又DP∩DE＝D，‎ 所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.‎ 故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.‎ ‎[规律方法]　1.对命题条件探索性的主要途径：‎ ‎(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；‎ ‎(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．‎ ‎2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．证明线面垂直的方法：‎ ‎(1)线面垂直的定义：a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α；‎ ‎(2)判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎2．证明面面垂直的方法．‎ ‎(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；‎ ‎(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎3．转化思想：垂直关系的转化 线线垂直面面判定性质垂直 ‎ [易错与防范]‎ ‎1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．‎ ‎2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．‎ 课时分层训练(四十一)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是____________．(填序号) 【导学号：62172226】‎ ‎①α⊥β且m⊂α；‎ ‎②α⊥β且m∥α；‎ ‎③m∥n且n⊥β；‎ ‎④m⊥n且α∥β.‎ ‎③　[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知③正确．]‎ ‎2．(2017·徐州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)‎ ‎①若l∥α，l∥β，则α∥β；‎ ‎②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，l⊥α，则l∥β；‎ ‎④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.‎ ‎②　[①中，α∥β或α与β相交，不正确．②中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，‎ 由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，②正确．‎ ‎③中，l∥β或l⊂β，③不正确．‎ ‎④中，l与β的位置关系不确定．]‎ ‎3．如图418，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是____________．(填序号)‎ 图418‎ ‎①BC∥平面PDF；‎ ‎②DF⊥平面PAE；‎ ‎③平面PDF⊥平面PAE；‎ ‎④平面PDE⊥平面ABC.‎ ‎④　[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，‎ BC⊄平面PDF，‎ 所以BC∥平面PDF，故①正确．‎ 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，‎ 所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正确．]‎ ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)‎ ‎①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；‎ ‎②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；‎ ‎③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；‎ ‎④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.‎ ‎③　[①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；‎ ‎②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；‎ ‎③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；‎ ‎④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]‎ ‎5．如图419，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)‎ 图419‎ ‎①平面ABC⊥平面ABD；‎ ‎②平面ABD⊥平面BCD；‎ ‎③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；‎ ‎④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.‎ ‎③　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]‎ ‎6．如图4110所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 【导学号：62172227】‎ 图4110‎ DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由定理可知，BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.‎ 又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]‎ ‎7．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ ‎②③④　[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．‎ 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．‎ 对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．‎ 对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]‎ ‎8．如图4111，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB‎1C1C的中心，则AD与平面BB‎1C1C所成角的大小是________．‎ 图4111‎ 　[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB‎1C1C.‎ 所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．‎ 设三棱柱的所有棱长为a，‎ 在Rt△AED中，‎ AE＝a，DE＝.‎ 所以tan∠ADE＝＝，则∠ADE＝.‎ 故AD与平面BB1C1C所成的角为.]‎ ‎9.如图4112，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B‎1F的长为____________．‎ 图4112‎ 　[设B‎1F＝x，‎ 因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1＝，‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，‎ 则DE＝h.‎ 由面积相等得2×＝h，‎ 所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，‎ B1E＝＝.‎ 由面积相等得×＝x，‎ 得x＝.]‎ ‎10.(2017·南京模拟)如图4113，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 图4113‎ 其中正确结论的序号是____________. 【导学号：62172228】‎ ‎①②③　[由题意知PA⊥平面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ ‎∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，‎ 故①②③正确．]‎ ‎11．(2017·盐城模拟)如图4114，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.‎ 设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，求证：‎ ‎(1)DE∥平面AA‎1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 图4114‎ ‎[证明]　(1)由题意知，E为B‎1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABC－A1B‎1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.‎ 因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.‎ ‎12．(2016·苏州期末)如图4115，在直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A‎1C1与B1D1交于点O.‎ ‎(1)求证：A1，C1，F，E四点共面；‎ ‎(2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A‎1C1FE. ‎ ‎【导学号：62172229】‎ 图4115‎ ‎[证明]　(1)连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，‎ 所以EF∥AC.‎ 由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.‎ 所以EF∥A1C1，‎ 故A1，C1，F，E四点共面．‎ ‎(2)连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B‎1C1D1，A‎1C1⊂平面A1B‎1C1D1，‎ 所以DD1⊥A1C1.‎ 因为底面A1B1C1D1是棱形，所以A1C1⊥B1D1.‎ 又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.‎ 因为OD⊂平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.‎ 又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，‎ 所以OD⊥平面A1C1FE.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．如图4116，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是____________．(填序号)‎ 图4116‎ ‎①O是△AEF的垂心；　　　 ③O是△AEF的内心；‎ ‎③O是△AEF的外心； ④O是△AEF的重心．‎ ‎①　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，‎ 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，‎ 所以EF⊥平面PAO，‎ 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ 所以O为△AEF的垂心．]‎ ‎2．如图4117，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝‎2a，BB1＝‎3a，D是A‎1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 图4117‎ a或‎2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.‎ 为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．‎ 设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，‎ ‎∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]‎ ‎3．(2016·四川高考)如图4118，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ 图4118‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎[解]　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：连结CM，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，‎ 所以CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，‎ 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连结BM，‎ 所以BC∥MD，且BC＝MD，‎ 所以四边形BCDM是平行四边形，‎ 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎4．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图①)．‎ ‎①　　　　　②‎ 图4119‎ ‎(1)求证：OF∥平面ACD；‎ ‎(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，‎ 又因为F为的中点，‎ 所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，‎ 又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，‎ 所以OF∥平面ACD.‎ ‎(2)存在，E为AD中点，‎ 因为OA＝OD，所以OE⊥AD.‎ 又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．‎ 所以OC⊥平面OAD.‎ 又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，‎ 由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，‎ 所以AD⊥平面OCE.‎ 又AD⊂平面ACD，‎ 所以平面OCE⊥平面ACD.‎