【数学】2019届一轮复习苏教版 二阶矩阵与平面列向量的乘法 学案

【数学】2019届一轮复习苏教版 二阶矩阵与平面列向量的乘法 学案

‎2019届一轮复习苏教版 二阶矩阵与平面列向量的乘法 学案 ‎1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.‎ ‎2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.‎ ‎[基础·初探]‎ ‎1.行矩阵与列矩阵的乘法规则 ＝.‎ ‎2.二阶矩阵与列向量的乘法规则 ＝.‎ ‎3.平面向量的变换 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为：‎ T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.‎ ‎4.由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换 一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为 T：→＝，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T：→＝的矩阵形式，反之亦然(a，b，c，d∈R).‎ 由矩阵M确定的变换T，通常记作TM.根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当α＝表示某个平面图形F上的任意一点时，这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到一个新的图形F′——原象集F的象集F′.‎ ‎[思考·探究]‎ ‎1.二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？‎ ‎【提示】　由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是把向量变成了另一个向量 ‎2.二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？‎ ‎【提示】　由本节的知识点知，一个二阶矩阵可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量表示平面上的点P(x，y)，变成另一个列向量表示的新的点P′(ax＋by，cx＋dy).反过来，现有平面上的一个变换T：→，如果＝，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标表示出来，这时变换T应为矩阵.‎ ‎3.矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？‎ ‎【提示】　由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别.函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.‎ ‎[质疑·手记]‎ 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：‎ 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 二阶矩阵与平面列向量的乘法运算 ‎　计算(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)；‎ ‎(4).‎ ‎【精彩点拨】　根据矩阵与向量的乘法规则运算.‎ ‎【自主解答】　(1) ‎＝＝.‎ ‎(2)＝＝.‎ ‎(3)＝＝.‎ ‎(4)＝＝.‎ 二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则＝进行.‎ 本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？‎ ‎【解】　(1)在矩阵作用下，列向量变成，此时点P(5，7)变成了关于x轴对称的点P′(5，－7).‎ ‎(2)在矩阵作用下，列向量保持不变.‎ ‎(3)在矩阵作用下，列向量变成了向量.‎ 矩阵的变换 ‎　(1)已知变换→＝，试将它写成坐标变换的形式；‎ ‎(2)已知变换→＝，试将它写成矩阵的乘法形式. ‎ ‎【导学号：30650005】‎ ‎【精彩点拨】　(1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得；‎ ‎(2)关键找到将2x－3y及y用x，y表示出来的系数a，b，c，d.‎ ‎【自主解答】　(1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得 →＝.‎ ‎(2)由＝＝ ‎＝得：→ ＝.‎ ‎1.将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可.‎ ‎2.将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵，使＝.‎ 已知变换→＝，试将它写成矩阵的乘法形式.‎ ‎【解】　由＝＝ ‎＝得：→＝.‎ 在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用 ‎　已知变换T：平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)分别变换成P1(5，－6)，Q1(2，0)，求变换矩阵A.‎ ‎【精彩点拨】　由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，‎ 根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素.‎ ‎【自主解答】　设所求的变换矩阵A＝，‎ 依题意，可得＝，‎ ＝，‎ 所以解得 故所求的变换矩阵A＝.‎ ‎1.设出所求的变换矩阵，将坐标变换写成矩阵的乘法的形式.‎ ‎2.根据矩阵的乘法列出方程组求出各元素，即得所求矩阵.‎ 如果矩阵把点A变成点A′(3，2)，求点A的坐标.‎ ‎【解】　设变换T：‎ →＝，‎ 即 解得所以点A的坐标为(1，1).‎ ‎[真题链接赏析]‎ ‎　(教材第11页习题第7题)设点P(a，b)(a，b∈R)在矩阵对应的变换作用下得到点P′，求点P′的坐标.‎ ‎　已知直线：l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标.‎ ‎【命题意图】　考查矩阵与矩阵变换.矩阵变换时，考查运算求解能力及化归与转化思想.‎ ‎【解】　(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′).‎ 由＝＝，得 又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，‎ 即x＋(b＋2)y＝1.‎ 依题意，得解得 ‎(2)由A＝，得解得y0＝0.‎ 又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.‎ 故点P的坐标为(1，0).‎ ‎1.设A＝，α＝，则Aα＝________.‎ ‎【解析】　Aα＝ ‎＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎2.已知→＝，则将它写成坐标变换的形式为：________. ‎ ‎【导学号：30650006】‎ ‎【解析】　→＝＝.‎ ‎【答案】　→ ‎3.线性变换写成矩阵与列向量的乘积的形式为________.‎ ‎【解析】　＝＝ ‎【答案】　＝ ‎4.若矩阵把点A变成点A′(3，1)，则点A的坐标为________.‎ ‎【解析】　设变换T：→＝，‎ 即 解得 所以点A的坐标为(1，－3).‎ ‎【答案】　(1，－3)‎ 我还有这些不足：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 我的课下提升方案：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎