2019-2020学年河南省创新发展联盟高一上学期第三次联考数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省创新发展联盟高一上学期第三次联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省创新发展联盟高一上学期第三次联考数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用并集定义直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：集合，，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集的求法，考查并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎2．下列几何体中，顶点总数最多的是（ ）‎ A．三棱柱 B．四面体 C．六棱锥 D．四棱柱 ‎【答案】D ‎【解析】根据简单多面体的结构特征得出各选项中几何体的顶点个数，可得出合适的选项.‎ ‎【详解】‎ 三棱柱、四面体、六棱锥、四棱柱的顶点总数分别为、、、，‎ 因此，上述几种几何体中，顶点总数最多的是四棱柱.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单多面体的顶点个数的判断，熟悉简单多面体的结构特征是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎3．在区间上，下列函数与函数的单调性相同的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析函数在区间上的单调性，然后再分析各选项中函数在区间上的单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，‎ 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一些常见函数在区间上的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎4．在空间中，若直线、、满足，且与共面，则与（ ）‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ‎【答案】C ‎【解析】分与为平行或相交两种情况讨论，可判断出与的位置关系.‎ ‎【详解】‎ 若，由平行线的传递性可得；若与相交，则与相交或异面.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎5．设函数，若是奇函数，则（ ）‎ A．-4 B．-2 C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据分段函数的解析式可知，又是奇函数，故 即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 是奇函数，且 ‎.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性以及函数值的计算，属于基础题.‎ ‎6．底边长为，高为的等腰三角形在斜二测画法中对应的直观图为，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】计算出原等腰直角三角形的面积，乘以即可得出的面积.‎ ‎【详解】‎ 原等腰三角形的面积为，因此，的面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多边形直观图面积的计算，熟悉原图形与直观图面积的倍数关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（ ）‎ A．若，，则.‎ B．若，，则.‎ C．若，，则.‎ D．若，，则.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由或判断；由，或相交判断；根据线面平行与面面平行的定义判断 ；由或相交，判断.‎ ‎【详解】‎ 若，，则或，不正确；‎ 若，，则，或相交，不正确；‎ 若，，可得没有公共点，即，正确；‎ 若，，则或相交，不正确,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎8．已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复合函数的单调性结合图形找出使得函数单调递减以及满足的对应的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.‎ 由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是 ‎.‎ 因此，函数的单调递增区间为、.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数单调区间的求解，在利用复合函数法得出内层函数的单调区间时，还应注意真数要恒大于零.‎ ‎9．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用对数函数的单调性比较与的大小关系，再利用指数函数的单调性得出，即可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 指数函数为增函数，则，‎ 对数函数是上的增函数，则，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长均为，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出几何体的实物图，并将该几何体的体积用表示，结合题中条件可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体由一个正方体截去四分之一而得，其体积为，‎ 即，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三视图计算空间几何体的体积，解题的关键就是作出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎11．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（ ）（参考数据：取）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，‎ 则由，得，‎ 所以，‎ 故正整数的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，与交于点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得出平面，利用线面平行的性质定理得出，利用平行线的性质可得出，连接交于，过作，与交于，连接，利用平行线的性质求出，即可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 易证平面，平面，平面平面，‎ ‎，，，则，即，‎ 又，则.‎ 连接交于，过作，与交于，连接，则为与的交点.‎ 因为，所以，则.‎ 所以，所以，故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行性质的应用，在解题时充分利用平行线的性质进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．定义在上的偶函数满足，则的零点个数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】计算出函数在区间上的零点，利用偶函数的性质得出该函数在区间上的零点，由此可得出该函数的零点个数.‎ ‎【详解】‎ 当时，由，得或.‎ 因为函数为偶函数，所以，从而有个零点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点的求解，涉及偶函数性质的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 连接、、，，，‎ 在正方体中，，，，‎ 所以，四边形为平行四边形，，‎ 所以，异面直线与所成的角为.‎ 易知为等边三角形，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15．已知，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将指数式化为对数式得，，然后利用换底公式和对数的运算律得出，即可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，又由，得，即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数的互化，同时也考查了换底公式与对数运算律的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16．已知长方体的各棱的长度之和为，若，则该长方体的体积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可设，，由题意得出，可得出，可得出该长方体的体积为，然后利用二次函数的性质可得出该长方体体积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 设，，则，所以，‎ 所以该长方体的体积.‎ 当时，该长方体的体积取得最大值，且最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查长方体体积最值的计算，解题时要熟悉变量之间的关系，并借助二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．（1）已知某圆柱的体积为，侧面积为，求该圆柱的高与表面积；‎ ‎（2）如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，，证明：、、、、五点共面.‎ ‎【答案】（1）高为，表面积为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）设圆柱的底面半径为，高为，根据题意建立关于、的方程组，解出这两个量，即可计算出圆柱的表面积；‎ ‎（2）由两平行直线确定一个平面，可得出、、、共面，然后证明也在这个平面内，即可证明出、、、、五点共面.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆柱的底面半径为，高为，则，解得.‎ 故该圆柱的表面积为；‎ ‎（2）因为，所以，可以确定一个平面.‎ 因为，，所以，，所以，又，所以.‎ 因为，，所以，，‎ 从而、、、、五点都在平面内，即、、、、五点共面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆柱表面积的计算，同时也考查了点共面的问题，考查计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）解方程；‎ ‎（2）若不等式的解集为，函数的定义域为，求，.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】（1）求出的值，然后将对数式化为指数式，可解出方程；‎ ‎（2）解不等式，得集合，求函数的定义域为集合，然后利用交集与补集的定义可求出，.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，由，则，解得；‎ ‎（2）由，得，解得，则.‎ 由，得，则.‎ 所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数方程的求解，同时也考查了对数不等式、函数定义域以及集合交集、补集的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，，，、分别为棱、的中点，，，且以线段为直径的球的表面积为.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若四棱锥的高为，求该四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明四边形为平行四边形，可得出，可证明出平面，由中位线的性质可证明出，即可证明出平面，然后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面平面；‎ ‎（2）计算出，利用勾股定理可计算出，即可计算出四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可计算出该四棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为的中点，且，所以.‎ 因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以.‎ 平面，平面，平面.‎ 在中，因为、分别为、的中点，所以，‎ 平面，平面，平面.‎ 因为，所以平面平面.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由题意可得，，解得.‎ 所以四边形的面积为，‎ 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面与平面平行的证明，同时也考查了锥体体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）证明：的唯一的零点在内；‎ ‎（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）判断出函数在上为增函数，结合零点存在定理可证明出函数 的唯一的零点在内；‎ ‎（2）由题意得出，分和两种情况讨论，求出和，可得出关于实数的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，函数在内存在零点.‎ 因为函数在上为增函数，故函数的唯一的零点在内；‎ ‎（2）函数在上为增函数，‎ 函数在上的最小值为.‎ ‎，.‎ 当时，函数在上的最大值为，则，解得；‎ 当时，函数在上的最大值为，‎ 则，解得，又，不合题意.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性与零点存在定理证明零点的唯一性，同时也考查了函数不等式问题，一般转化为函数的最值相关的不等式来处理，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21．如图，在三棱柱中，是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）若是棱上的任意一点，且三棱柱的体积为，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）连接交于点，连接，可得出点为的中点，利用中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）设三棱柱的高为，底面的面积为，可得出，利用，可得出，由此可计算出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接交于点，连接.‎ 因为四边形是平行四边形，所以是的中点.‎ 因为是的中点，所以.‎ 又平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）设三棱柱的高为，底面的面积为，‎ 则三棱柱的体积.‎ 又，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了锥体体积的计算，涉及了等体积法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎22．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足 ‎.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）设函数，求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）分别令，和，，可得出关于和的方程组，即可解出的值；‎ ‎（2）令，则，再用替换可得出，利用加减消元法可解出，即可得出函数的解析式；‎ ‎（3）由题意得出，然后分和，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最大值的表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，，得；‎ 令，，得.‎ 由，解得；‎ ‎（2）令，则，所以，‎ 由以上两式，解得，‎ 即，所以；‎ ‎（3）.‎ 当，即时，此时，函数在区间上单调递增，‎ ‎；‎ 当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.‎