【数学】2018届一轮复习北师大版坐标系与参数方程第二节参数方程教案

【数学】2018届一轮复习北师大版坐标系与参数方程第二节参数方程教案

第二节　参数方程 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解参数方程及其参数的意义；‎ ‎2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，23,10分(参数方程求最值)‎ ‎2016，江苏卷，21,10分(直线方程的应用)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，23,10分(参数方程化普通方程)‎ ‎1.直线与圆的参数方程是历年高考命题的热点；‎ ‎2.直线与圆的参数方程与位置关系是高考的重点；‎ ‎3.应用参数方程求最值也是高考的重点。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：①并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。‎ ‎2．直线的参数方程 过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段的数量。‎ ‎3．圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为α∈[0,2π)。‎ ‎4．椭圆的参数方程 以椭圆的离心角θ为参数，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为θ∈[0,2π)。‎ 微点提醒 ‎1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围。‎ ‎2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t ‎|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离。‎ 小|题|快|练 ‎1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为__________。‎ ‎【解析】　由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝－＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°。‎ ‎【答案】　150°‎ ‎2．曲线(θ为参数)的左焦点的坐标是__________。‎ ‎【解析】　化为普通方程为＋＝1，故左焦点为(－4,0)。‎ ‎【答案】　(－4,0)‎ ‎3．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k的值是________。‎ ‎【解析】　直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；‎ 直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2。‎ ‎∵l1与l2垂直，‎ ‎∴×(－2)＝－1⇒k＝－1。‎ ‎【答案】　－1‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________。‎ ‎【解析】　记A(x1，y1)，B(x2，y2)，将射线θ＝转化为直角坐标方程为y＝x(x≥0)，曲线为y＝(x－2)2，联立上述两个方程得x2－5x＋4＝0，所以x1＋x2＝5，故线段AB的中点坐标为。‎ ‎【答案】　 ‎5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离是__________。‎ ‎【解析】　直线方程可化为x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1。由点到直线的距离公式可得，圆心C(1,0)到直线l的距离为＝。‎ ‎【答案】　 微考点　大课堂 考点一 ‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎【典例1】　将下列参数方程化为普通方程。‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)。‎ ‎【解析】　(1)∵2＋2＝1，‎ ‎∴x2＋y2＝1。‎ ‎∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1。‎ 又x＝，∴x≠0。‎ 当t≥1时，0＜x≤1，‎ 当t≤－1时，－1≤x＜0，‎ ‎∴所求普通方程为 x2＋y2＝1。‎ ‎(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，‎ sin2θ＝x－2，‎ ‎∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0。‎ ‎∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1。∴2≤x≤3。‎ ‎∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)。‎ ‎【答案】　(1)x2＋y2＝1 ‎(2)2x＋y－4＝0(2≤x≤3)‎ 反思归纳　将参数方程化为普通方程的方法 ‎1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法。常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等。‎ ‎2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解。‎ ‎【变式训练】　将下列参数方程化为普通方程。‎ ‎(1)(2) ‎【解析】　(1)两式相除，得k＝，将其代入得x＝，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)。‎ ‎(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)‎ 得y2＝2－x。又x＝1－sin2θ∈[0,2]，‎ 得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]。‎ ‎【答案】　(1)4x2＋y2－6y＝0(y≠6)‎ ‎(2)y2＝2－x，x∈[0,2]‎ 考点二 ‎ 直线参数方程的应用 ‎【典例2】　(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)。设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长。‎ ‎【解析】　椭圆C的普通方程为x2＋＝1。‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－。所以|AB|＝|t1－t2|＝。‎ ‎【答案】　 反思归纳　经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)。若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2。线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0。注意以下几个常用的结论：(1)t0＝；(2)|PM|＝|t0|＝；‎ ‎(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1t2|。‎ ‎【变式训练】　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ。‎ ‎(1)求圆C的圆心到直线l的距离；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|。‎ ‎【解析】　(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即圆C的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝5。‎ 由可得直线l的普通方程为x＋y－－3＝0。‎ 所以圆C的圆心(0，)到直线l的距离为＝。‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0。‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两个实根，所以 又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3。‎ ‎【答案】　(1)　(2)3 考点三 ‎ 圆的参数方程的应用 ‎【典例3】　已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)。‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值。‎ ‎【解析】　(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，‎ 曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；‎ 曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M。曲线C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|，从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取最小值。‎ ‎【答案】　(1)见解析　(2) 反思归纳　将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响。‎ ‎【变式训练】　在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈。‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标。‎ ‎【解析】　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)。‎ 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π)。‎ ‎(2)设D(1＋cost，sint)。由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆。‎ 因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝。‎ 故点D的直角坐标为，即。‎ ‎【答案】　(1)(t为参数，0≤t≤π)‎ ‎(2) 考点四 ‎ 椭圆参数方程的应用 ‎【典例4】　(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)。以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2。‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标。‎ ‎【解析】　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0。‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)。因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝ ‎＝|sin－2|。‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为。‎ ‎【答案】　(1)C1为＋y2＝1，C2为x＋y－4＝0‎ ‎(2)最小值为，P 反思归纳　椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。‎ ‎【变式训练】　在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－4xcosθ－4ysinθ＋7cos2θ－8＝0(θ∈R，θ为参数)的圆心轨迹为曲线C，点P在曲线C上运动。以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为2ρcos＝3，求点P到直线l的最大距离。‎ ‎【解析】　将动圆的方程配方，得 ‎(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝9＋3sin2θ，‎ 设圆心(x，y)，则(θ∈R，θ为参数)，‎ 即曲线C的参数方程为(θ∈R，θ为参数)，‎ 直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0，‎ 设点P(x1，y1)，则(θ∈R，θ为参数)，点P到直线l的距离d＝ ‎＝，‎ 其中tanφ＝－。‎ ‎∴当sin(θ＋φ)＝－1时，点P到直线l的距离d取得最大值。‎ ‎【答案】　 微考场　新提升 ‎1．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)。‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围。‎ 解析　(1)直线l的普通方程为2x－y－‎2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16。‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2。‎ 答案　(1)l为2x－y－‎2a＝0，C为x2＋y2＝16‎ ‎(2)[－2，2]‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝。‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)试判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由。‎ 解析　(1)对于曲线C1有x＋y＝1，对于曲线C2有＋y2＝1。‎ ‎(2)显然曲线C1：x＋y＝1为直线，则其参数方程可写为(α为参数)，与曲线C2：＋y2＝1联立，可得5α2－12α＋8＝0，可知Δ>0，所以C1与C2存在两个交点，‎ 由α1＋α2＝，α1α2＝，得两交点间的距离d＝|α2－α1|＝＝。‎ 答案　(1)C1为x＋y＝1，C2为＋y2＝1　(2)存在，两交点间的距离为 ‎3．(2017·赤峰模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρsin＝2。‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离。‎ 解析　(1)由ρsin＝2得 ρ(sinθ－cosθ)＝4，‎ 所以l：x－y＋4＝0，‎ 由得C：x2＋＝1。‎ ‎(2)在C上任取一点P(cosθ，sinθ)，则点P到直线l的距离为d＝＝，‎ 其中cosφ＝，sinφ＝，‎ 所以当cos(θ＋φ)＝1时，dmax＝2＋。‎ 答案　(1)C为x2＋＝1，l为x－y＋4＝0‎ ‎(2)2＋