【数学】2020届一轮复习北师大版命题及其关系、充分条件与必要条件学案
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示 若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．( √ )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( √ )
题组二 教材改编
2．[P8T3]下列命题是真命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
答案 A
3．[P5引例]命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________．
答案 两直线不平行，同位角不相等
4．[P12T3]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 x>y⇏x>|y|(如x＝1，y＝－2)，
但当x>|y|时，能有x>y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
6．已知p：x>a是q：2
a}，∴a≤2.
题型一 命题及其关系
1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福
答案 D
2．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是________．
答案 ①③
3．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)
答案 ①②③
解析 ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是_________．
答案 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
题型二 充分、必要条件的判定
例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 取α＝，β＝，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．
∴充分性不成立；
取α＝，β＝，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．
故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由5x－6>x2，得20，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由log2x<0知00)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
答案 (0,2]
解析 由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得x<或x>1.
∵p是q的充分不必要条件，又m>0，
∴≤，∴0a＋1或x1，∴命题p为假命题，
∴A不正确；
命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，
∴B正确；
命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；
命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．
故选B.
2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
答案 B
解析 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
3．(2018·天津)设x∈R，则“<”是“x3<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由<，得00，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
答案 C
解析 ①的逆命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”．
因为当m＝0时，解集不是R，
所以应有即m>1.所以③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
6．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵a>b，∴f(a)>f(b)，
∴a＋ln a>b＋ln b，故充分性成立；
∵a＋ln a>b＋ln b，
∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，
故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选C.
7．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，
即S4＋S6>2S5.
若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，
即21d>20d，
∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．
故选C.
方法二 ∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0.
∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．
故选C.
8．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 B
解析 由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.
9．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2sin B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充要
解析 因为cos A>sin B，所以cos A>cos，
因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，
又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，
所以A<－B，所以A＋B<，
在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>，
所以△ABC为钝角三角形；
若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，
则C>，所以A＋B<，
所以A<－B，所以cos A>cos，
即cos A>sin B.
故“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
12．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．
答案
解析 由2－m>m－1>0，解得1
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